§6. Общая задача нелинейного программирования. Теорема Куна-Таккера.

Рассмотрим общую задачу нелинейного программирования

, (1)

где Ф(Х) – произвольная дифференцируемая функция,

- (2)

- не пустое ограниченное замкнутое множество.

Нам понадобятся далее понятия множителей Лагранжа и функции Лагранжа для общей задачи нелинейного программирования. Функция Лагранжадля задачи (1) с ограничениями (2) определяется формулой

, (3)

где ,- (m*1)-и (l*1)- векторымножителей Лагранжа, соответственно.

Нам понадобится также понятие условий регулярности для общей задачи нелинейного программирования. Если точка и активными являются ограничения, то условие линейной независимости векторов, а также условие линейной независимости векторовназываютсяусловиями регулярности ограничивающих функций в точке. Смысл условий регулярности раскрыт в предыдущих параграфах.

Теорема 1 (Куна-Таккера). Пусть функцииФ(Х),,имеют непрерывные частные производные в некоторой окрестности точкии пусть эта точка является точкой локального минимума функцииФ(Х). Пусть, кроме того, выполняются условия регулярности функций,в точке.Тогда существуют такие множители Лагранжа,,не все из которых равные нулю одновременно, что для функции Лагранжаточкаявляется стационарной, т.е.

. (3)

Теорема 1 означает, что в ее условиях вместо задачи условной оптимизации (1), (2) можно решать задачу безусловной оптимизации

=.

Необходимым условием существования локального минимума этой задачи в некоторой точке является условие (3).

Входные термины:

• общая задача нелинейного программирования, задача нелинейного программирования с ограничениями типа равенств; задача нелинейного программирования с ограничениями типа неравенств;

• функция Лагранжа;

• множители Лагранжа;

• условия регулярности;

• теорема Куна-Таккера.

Выходные термины:

§7. Аналитическое решение многомерных задач нелинейного программирования.

Ограничимся рассмотрением задачи нелинейного программирования с ограничениями типа неравенств

, (1)

где Ф(Х) – произвольная функция,

- (2)

не пустое ограниченное замкнутое множество.

Рассмотрим прямое решение задачи (1), (2) (без использования теоремы Куна-Таккера), а также решение этой задачи на основе использования теоремы Куна-Таккера.

Прямое решение (без использования теоремы Куна-Таккера).

Общая схема прямого решения задачи нелинейного программирования (1), (2):

1. Из условия определяем все стационарные точки функциив областиD.

2. Определяем все критически точки (точки не дифференцируемости) функции в областиD.

3. Для каждой из границ ,области D (для каждой из ограничивающих функций) решаем соответствующую задачу на условный минимум:

3.1) из уравнения выражаем одну из переменных через остальныепеременных и подставляем их в выражение для функции;

2. вместо исходной задачи минимизации с ограничениями получаем задачу безусловной минимизации с переменными;

3. решаем эту задачу – находим стационарные точки полученной функции, лежащие на соответствующей границе области D.

4. Решаем задачу, аналогичную задаче, рассмотренной в п. 3, для каждого из множеств, которое определяется пересечением границ области D.

5. Во всех отобранных точках, принадлежащих области Dвычисляем значения функциии выбираем ту (или те), в которой значение функции наименьшее●

Заметим, что в общем случае такой подход трудно реализовать на практике, поскольку далеко не всегда удается разрешить уравнения относительно указанных переменных.

Изложенную схему аналитического решения задачи нелинейного программирования (1), (2) покажем на следующем примере.

Пример 1 (для самостоятельной аудиторной работы). Рассмотрим двумерную задачу нелинейного программирования с ограничениями типа неравенств (рисунок 1)

, (3)

где ,

(4)

Рисунок 1 - К примеру 1

Отметим, что задача (3), (4) является задачей выпуклого квадратичного программирования: множество Dесть выпуклый многогранник, а функция- квадратичная.

1. Определяем стационарные точки функции в областиD.

. .

Обозначим A найденную стационарную точку функции. Легко видеть (рисунок 1), что точкаA не принадлежит множествуDи должна быть исключена из дальнейшего рассмотрения.

2. Определяем критические точки функции в областиD.

Функция всюду дифференцируема. Поэтому критические точки отсутствуют.

3. Для каждой из границ области Dрешаем соответствующую задачу на условный минимум:

3.1) Граница .Решаем задачу

.

Из условия имеем. Подставив это значениев выражение для, получим. Минимум этой функции достигается в точкес координатами (0,4):

.

3.2) Граница . Решаем задачу

.

Аналогично предыдущему имеем точку с координатами (4,0).

3.3) Граница .Решаем задачу

.

Из условия имеем. Подставив это значениев выражение для функции, получим. Минимум этой функции достигается в точкес координатами (2.5, 2.5):

.

4. Решаем задачи условной оптимизации для точек, которые являются пересечением границ области D. В данном случае эти задачи вырождаются в задачи вычисления значений функциив точках.

5. Значения функции в отобранных точках приведены в таблице 1.

Таблица 1. Значения функциив отобранных точках.

Точка
Координаты	(0,0)	(0,5)	(2.5,2.5)	(5,0)	(0,4)	(4,0)
Значение	32	17	4.5	17	16	16

Из таблицы 1 следует, что искомое минимальное значение достигается в точке (2.5, 2.5) и равно 4.5●

Решение с использованием теоремы Куна-Таккера.

Общая схема решения задачи нелинейного программирования (1), (2) с использованием теоремы Куна-Таккера:

1. Записываем функцию Лагранжа

. (5)

2. Находим градиенты ,функций,.

3. Находим стационарные точки функции Лагранжа, т.е. точки, в которых градиент этой функции равен нулю:

. (6)

4. Находим точки, в которых нарушаются условия регулярности ограничивающих функций.

5. Во всех стационарных точках функции Лагранжа, а также в точках нарушения условий регулярности вычисляем значения функции и выбираем ту или те точки, в которых значение функции наименьшее●

Изложенную схему аналитического решения задачи нелинейного программирования (1), (2) покажем на следующем примере.

Пример 2 (для самостоятельной аудиторной работы). Рассмотрим двумерную задачу нелинейного программирования с ограничениями типа неравенств, рассмотренную в примере 1 (рисунок 1)

, (7)

где ,

. (8)

1. Записываем функцию Лагранжа

.

2. Находим градиенты функций ,:

; ;;.

3. Записываем необходимое условие минимума функции Лагранжа:

. (9)

3.1) Положим, что ни одно из ограничений не является активным (точка не лежит на границе области D). В этом случае можно положить(напомним, что теорема Куна-Таккера не запрещает этого). Тогда из системы (9) имеем стационарную точкуA с координатами (4,4). Точка лежит вне областиDи из рассмотрения исключается.

3.2) Пусть активным является ограничение , т.е. пусть. Тогда можно положить. При этом из (9) следует. Таким образом, имеем стационарную точкус координатами (0,4).

3.3) Пусть активным является ограничение , т.е. пусть. Тогда можно положить. При этом из (9) следует. Таким образом, имеем стационарную точкус координатами (4,0).

3.4) Пусть активным является ограничение , т.е. пусть. Тогда можно положить. При этом из (9) следует система

(10)

Вычитая из первого уравнения второе, получим . Отсюда, из условияи системы (10) имеем,. Таким образом, имеем стационарную точкус координатами (2.5,2.5).

3.5) Пусть активными являются ограничения ,, т.е. пусть. Тогда можно положить. При этом из (9) следует,. Таким образом, имеем стационарную точкус координатами (0,0).

3.6) Для активных ограничений ,аналогично получаем стационарную точкус координатами (0,5).

3.7) Для активных ограничений ,аналогично получаем стационарную точкус координатами (5,0).

4. Легко видеть, что точки, в которых нарушаются условия регулярности ограничивающих функций, отсутствуют.

5. Значения функции в отобранных точках приведены в таблице 2.

Таблица 2 -Значения функциив отобранных точках.

Точка
Координаты	(0,0)	(0,5)	(2.5,2.5)	(5,0)	(0,4)	(4,0)
Значение	32	17	4.5	17	16	16

Из таблицы 2 следует, что искомое минимальное значение достигается в точке (2.5, 2.5) и равно 4.5●

27