§5. Задача нелинейного программирования с ограничениями типа неравенств. Теорема Куна-Таккера.

Рассмотрим задачу нелинейного программирования

, (1)

где Ф(Х) – произвольная дифференцируемая функция,

- (2)

- не пустое ограниченное замкнутое множество.

Нам понадобятся далее понятия множителей Лагранжа и функции Лагранжа для задачи нелинейного программирования с ограничениями типа неравенств. Функция Лагранжадля задачи (1) с ограничениями (2) определяется формулой

, (3)

где - (m*1)-вектормножителей Лагранжа.

Нам понадобятся также понятия активных и неактивных ограничений. В точке каждое из ограниченийвыполняется либо в виде равенства, либо в виде неравенства. Ограничения первого вида называютсяактивными ограничениями. Остальные ограничения называютсянеактивными ограничениями (рисунок 1).

Кроме того, нам понадобится также понятие условия регулярности для задачи нелинейного программирования с ограничениями типа неравенств. Если точка и ограниченияактивны, то условие линейной независимости векторовназываетсяусловием регулярностиограничивающих функцийв точке. Это условие означает, что, например, приn=2количество ограничивающих функций, проходящих через точку, не должно превышать 2 и в точкевекторы,не должны быть коллениарны (рисунок 2).

Рисунок 1 – К определению активных и неактивных ограничений (двумерная задача):

для точки активным является ограничение, а неактивными – ограничения,; для точкиактивными являются ограничения,, а неактивными – ограничение

Рисунок 2 - Ситуации, в которых не выполняется условие регулярности двумерной

задачи (1), (2)

Исключительно большое значение в теории и практике нелинейного программирования имеет следующая теорема.

Теорема 1 (Куна-Таккера). Пусть функцияФ(Х) и функцииимеют непрерывные частные производные в некоторой окрестности точкии пусть эта точка является точкой локального минимума функцииФ(Х) при ограничениях, удовлетворяющих в точкеусловию регулярности. Тогда существуют такиенеотрицательные множители Лагранжа, что для функции Лагранжаточкаявляется стационарной, т.е.

● (4)

Заметим, что в отличие от правила множителей Лагранжа, теорема 1 требует знакоопределенности множителей Лагранжа . Отметим также, что теорема не запрещает того, чтобы все множители Лагранжабыли равны нулю.

Поясним смысл теоремы на примере.

Пример 1. Рассмотрим двумерную (n=2) задачу нелинейного программирования (1), (2), в которой область допустимых значенийD задается тремя ограничивающими функциями, т.е.. Положим, что множествоDимеет вид, представленный на рисунке 3.

Рисунок 3 - К примеру 1

Для всех граничных точек области D, очевидно, выполняются условия регулярности.

Если точка находится внутри множестваD(т.е. является стационарной точкой функции), то теорема будет справедлива, если положить все множители Лагранжаравными нулю.

Пусть теперь точка находится на одной из дуг, например, на дугеAB, т.е. пусть ограничениеявляется активным, а остальные ограничения – неактивными. Тогда в этой точкеи справедливость теоремы вытекает из правила множителей Лагранжа для задачи с ограничениями типа равенств, если положить.

Пусть, наконец, точка находится в одной из угловых точек множестваD, например, в точкеB, т.е. пусть ограничения,являются активными, а ограничение- неактивным. Тогда можно положитьи справедливость теоремы вытекает из правила множителей Лагранжа для задачи с ограничениями типа равенств●

Теорема 1 означает, что в ее условиях вместо задачи условной оптимизации (1), (2) можно решать задачу безусловной оптимизации

=.

Необходимым условием существования локального минимума этой задачи в некоторой точке является условие (4).

Широко известна другая форма теоремы 1, которую мы сформулируем в виде следствия этой теоремы.

Следствие. В условиях теоремы 1 существуют такие неотрицательные множители Лагранжа, что имеют место следующие равенства:

; (5)

. (6)

Здесь равенство (5) повторяет равенство (4), а справедливость равенства (6) следует из того факта, что по условиям теоремы точка удовлетворяет всем ограничениям, т.е.●

Заметим, что из (6) следует справедливость еще одного полезного равенства

.

Входные термины:

• многомерная задача условной оптимизации;

• общая задача нелинейного программирования, задача нелинейного программирования с ограничениями типа равенств и неравенств.

• функция Лагранжа для общей задачи нелинейного программирования;

• множители Лагранжа для общей задачи нелинейного программирования.

Выходные термины:

• теорема Куна-Таккера для общей задачи нелинейного программирования..