§3. Задача выпуклого программирования.

Рассмотрим n-мерную задачу выпуклого программирования

,

где Ф(Х) – выпуклая функция,D – выпуклое не пустое ограниченное и замкнутое множество. Напомним, что по определению выпуклая функция является непрерывной.

Как показано в предыдущем параграфе, во внутреннихточках множества допустимых значенийDфункцияФ(Х) достигает минимального значения в точках, которые являются ее либо стационарными, либо критическими точками. Однако функция может достигать своего наименьшего значения ив граничных точкахобласти определенияD.

Важные свойства задачи выпуклого программирования определяют две следующие теоремы.

Теорема 1. ЕсливнутренняяточкамножестваD является точкой локального минимума в задаче выпуклого программирования, то в этой точке функцияФ(Х) достигает свой глобальный минимум.

Доказательство.Положим, что в точкефункцияФ(Х) не достигает наименьшего во множествеD значения. Тогда существует точка, для которой. Рассмотрим сечение,. Функциядостигает в точкенаибольшее значение. Действительно, поскольку.

Это значит, что существует окрестность точкии некотороетакие, что

. Но тогда , что противоречит условию теоремы●

Из теоремы следует, что во всех точках локального минимума выпуклая функция имеете одинаковые значения.

Пример 1. Рассмотрим не строго выпуклую квадратичную функцию, определенную в области(рисунок 1). Все локальные минимумы этой функции равны нулю и расположены на прямой

.

MATLAB-программа:

x=-2:0.06:2;

y=x;

[X,Y]=meshgrid(x);

Z=(X+Y).^2;

V=[0.025,0.5,1,2,4,8];

[C,h]=contour(X,Y,Z,V);

clabel(C,h);

Рисунок 1 - К примеру 1

Теорема 2. ФункцияФ(Х), строго выпуклая на выпуклом множестве, имеет в этом множестве одну точку минимума (глобального)●

Условия существования решения задачи выпуклого программирования дает следующая теорема.

Теорема 3. Пусть функцияФ(Х) выпукла на выпуклом множествеи дифференцируема в точке. Тогда для того чтобы эта точка была точкой минимума функцииФ(Х), необходимо и достаточно, чтобы для любой точкивыполнялось неравенство

. (1)

Необходимость. Рассмотрим сечениефункцииФ(Х). Функцияопределена на отрезке [0,1], имеет в точкелокальный минимум и дифференцируема в этой точке. Следовательно(равенство нулю имеет место в том случае, когда точкаявляется внутренней точкой множестваD). По правилу дифференцирования сложной функции

.

Достаточность. Пусть в точкевыполнено неравенство (1). Рассмотрим сечениефункцииФ(Х), гдеX– произвольная точка из множестваD. ПосколькуФ(Х) выпукла во множествеD, то функциятакже выпукла на отрезке [0,1]. Кроме того, из неравенства (1) следует, что. Это означает, что- неубывающая отрезке [0,1] функция, т.е.. Последнее неравенство означает, чтои в точкефункцияФ(Х) принимает наименьшее в областиD значение●

Теорему 3 иллюстрирует рисунок 2.

Рисунок 2 - К теореме 2

На рисунке 2 точка является точкой локального минимума, поскольку не существует такой точки, что скалярное произведениеотрицательно. Например, точкане является точкой локального минимума, так как существуют такие точки, что скалярное произведениеотрицательно.

Линии уровня на рисунке 2 получены с помощью следующей MATLAB-программы:

x=-2:0.06:-0.1;

y=x;

[X,Y]=meshgrid(x);

Z=100.*(Y-X.^2).^2+(1-X).^2;

V=[2,8,32,125,250,500,1000,2000];

contour(X,Y,Z,V);

[C,h]=contour(X,Y,Z,V);

clabel(C,h);

Заметим, что если точка является внутренней точкой множестваD, то условие (1) эквивалентно условию. Таким образом, условие (1) можно рассматривать как обобщение необходимого условия минимума.

Входные термины:

• многомерная задача условной оптимизации;

• задача нелинейного программирования с ограничениями типа равенств.

Выходные термины:

• множители Лагранжа для задачи нелинейного программирования с ограничениями типа равенств;

• функция Лагранжа для задачи нелинейного программирования с ограничениями типа равенств;

• условие регулярности для задачи нелинейного программирования с ограничениями типа равенств;

• правило множителей Лагранжа.