§5. Сравнение эффективности алгоритмов равномерного поиска, равномерного дихотомического поиска, Фибоначчи и золотого сечения.

Рассмотрим следующую задачу одномерной условной унимодальной оптимизации: найти минимум одномерной унимодальной функции Φ(x), определенной в замкнутой области допустимых значений D=[a,b],

Φ(x)=Φ(x*). (1)

Обозначим через класс одномерных унимодальных функций. Пусть множество рассматриваемых алгоритмов решения задачи (1) есть{A₁, A₂, A₃, A₄}, где

• А₁ - алгоритм равномерного пассивного поиска,

• А₂- алгоритм равномерного дихотомического поиска,

• А₃- алгоритм метода Фибоначчи,

• А₄ - алгоритм золотого сечения.

В качестве критерия оптимальности алгоритмов на классе функцийиспользуем длину текущего интервала неопределенности послеN испытаний

.

В параграфе 1 мы показали, что если количество узлов сетки равно N+1, то после одной итерации алгоритма равномерного поиска текущий интервал неопределенности уменьшается в раз. Поэтому

.

Из результатов параграфа 2 следует, что после одной итерации (двух испытаний) алгоритма равномерного дихотомического поиска текущий интервал неопределенности уменьшается в 2 раза. Поэтому

.

В параграфе 3 показано, что в результате N испытаний (N итераций) алгоритма Фибоначчи длина текущего интервала неопределенности становится равной . Отсюда следует, что

.

Наконец, в параграфе 4. показано, что в результате N испытаний (-ой итераций) алгоритма золотого сечения длина текущего интервала неопределенности становится равной. Поэтому

.

Выполним сравнение эффективности рассмотренных методов одномерной условной оптимизации при .

1) Сравнение эффективности алгоритмов равномерного пассивного поиска и дихотомического поиска:

.

Это означает, что алгоритм равномерного дихотомического поиска примерно в 9 раз эффективнее алгоритма равномерного пассивного поиска. Заметим, что сравнение выполнено лишь с одной итерацией алгоритма равномерного пассивного поиска.

2) Сравнение эффективности алгоритма деления пополам и алгоритма Фибоначчи:

.

Таким образом, при N=14 алгоритм Фибоначчи почти в 5 раз эффективнее алгоритма деления пополам.

3) Сравнение эффективности алгоритмов Фибоначчи и золотого сечения:

.

Здесь учтено, что .

Таким образом, при N=14 алгоритм золотого сечения примерно на 40 процентов эффективнее алгоритма Фибоначчи.

Входные термины:

• задача условной оптимизации;

• задача безусловной оптимизации;

• одномерная унимодальная функция;

• метод последовательного поиска;

• метод сокращения текущего интервала неопределенности.

Выходные термины:

• метод полиномиальной аппроксимации;

• метод квадратичной аппроксимации.

§6. Методы сокращения текущего интервала неопределенности. Метод квадратичной аппроксимации.

Метод квадратичной аппроксимации используется только для уточнения решения задачи одномерной условной оптимизации, полученного, например, каким либо из рассмотренных выше алгоритмов.

Метод относится к семейству методов полиномиальной аппроксимации. Идея метода полиномиальной аппроксимации состоит в том, что в некоторой окрестности минимума функции Φ(x) она аппроксимируется полиномом достаточно высокого порядка и в качестве точки минимума функции Φ(x) (или в качестве очередного приближения к этой точке) принимается точка минимума аппроксимирующего полинома. В силу того, что аппроксимирующая функция является полиномом, этот минимум находится легко.

В качестве аппроксимирующих полиномов чаще всего используются полиномы второго и третьего порядков, т.е. квадратичную и кубическую аппроксимацию.

Квадратичная аппроксимация.

Рассмотрим квадратичную аппроксимацию (рисунок 1). Пусть в процессе решения задачи поиска минимума функции Φ(x) тем или иным образом получены не совпадающие точки , принадлежащие области допустимых значенийD.

Рисунок 1 – К квадратичной аппроксимации одномерной функции

Построим квадратичную функцию

, (1)

проходящую через точки , где.

Коэффициенты функции (1) удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

. (2)

Определитель СЛАУ (2) является определителем Вандермонда, который отличен от нуля, если величины попарно различны.

Таким образом, в сделанных предположениях СЛАУ (2) имеет решение и, притом единственное. Поскольку определитель СЛАУ (2) равен , это решение имеет вид

,

где .

Подставим найденные значения коэффициентов в необходимое условие минимума квадратичной функции (1), получим стационарную точку этой функции

, (3)

где .

Метод квадратичной аппроксимации.

Рассмотрим следующую задачу одномерной условной оптимизации: найти минимум одномерной унимодальной функции Φ(x), определенной в замкнутой области допустимых значений D=[a,b],

Φ(x)=Φ(x*). (4)

Метод квадратичной аппроксимации относится к классу прямых методов сокращения текущего интервала неопределенности. Пусть при решении задачи (4) каким-либо методом получены три точки , принадлежащие области допустимых значений, такие, что .

Схема метода квадратичной аппроксимации:

1. Выполняем присваивания r=1,,.

2. Вычисляем величины - значения функцииΦ(x) в точках , соответственно.

3. По формуле (3) вычисляем значение величины и находим значение функции Φ(x) в этой точке.

4. Находим следующие три точки:

а) если , то(рисунок 2);

б) если , то(рисунок 3).

5. В качестве следующего текущего интервала неопределенности принимаем .

6. Если |ТИН_r+1|≤ε_x,, то заканчиваем вычисления. Иначе - выполняем присваивание r=r+1 и переходим на п. 2. Здесь ε_x – требуемая точность решения●

Заметим, что в силу условий , точкавсегда принадлежит текущему интервалу неопределенности.

Рисунок 2 – К схеме метода квадратичной аппроксимации: случай

Рисунок 2 – К схеме метода квадратичной аппроксимации: случай

Входные термины:

• задача условной оптимизации;

• задача безусловной оптимизации;

• одномерная унимодальная функция;

• метод последовательного поиска.

Выходные термины:

• метод полиномиальной аппроксимации;

• метод Паулла.