Глава 4. Методы поиска минимума одномерных унимодальных функций.

Многие практически важные методы решения многомерных задач оптимизации включают в себя в качестве составной части совокупность задач одномерной минимизации. Важнейшим классом задач одномерной минимизации является класс задач минимизации одномерных унимодальных функций.

Входные термины:

• задача условной оптимизации;

• одномерная унимодальная функция;

• метод пассивного поиска;

• прямой метод поиска.

Выходные термины:

• метод сокращения текущего интервала неопределенности;

• алгоритм равномерного поиска.

§1. Метод сокращения текущего интервала неопределенности. Алгоритм равномерного поиска.

Рассмотрим следующую задачу одномерной условной унимодальной оптимизации: найти минимум одномерной унимодальной функции Φ(x), определенной в замкнутой области допустимых значений D=[a,b],

Φ(x)=Φ(x*).

Идея алгоритмов, относящихся к методу сокращения интервала неопределенности, состоит в исключении в процесса поиска из рассмотрения тех подынтервалов, в которых в силу унимодальности Ф(х) точка х* отсутствует.

Текущий интервал неопределенности будем обозначать ТИН, а его длину |ТИН|. Так что, если ТИН=[a,b], то |ТИН|=b-a.

В алгоритме равномерного поиска испытания проводятся в точках, которые определяются путем равномерного деления текущего интервала [a,b] на N одинаковых подынтервалов. В полученных точках вычисляются значения Ф(х) и из них выбирается наименьшее. Пусть это значение достигается в точке х_k. Тогда в связи с унимодальностью функции Ф(х) подынтервалы [a,x_k-1), (x_k+1,b] можно исключить из рассмотрения, т.е. сделать очередным интервалом неопределенности интервал .

Более строго описанную схему алгоритма можно записать в нижеследующем виде.

1. Выполняем присваивания r=1, a¹=a, b¹=b, ТИН₁=[a¹, b¹].

2. На текущем ТИН строим равномерную сетку с N+1 узлами (рисунок 1).

Рисунок 1 - Построение сетки на текущем интервале неопределенности

3. Вычисляем значения функции Ф(х) в узлах построенной сетки .

4. Находим минимальное из этих значений:

min .

5. Выполняем присваивания ТИН_r+1=[a^r+1, b^r+1].

6. Если |ТИН_r+1|≤ε_x,, то заканчиваем вычисления. Иначе - выполняем присваивание r=r+1 и переходим на п. 2. Здесь ε_x – требуемая точность решения по x●

Для алгоритма равномерного поиска (как и для всех других алгоритмов, относящихся к классу методов сокращения текущего интервала неопределенности) в качестве приближенного значения точки минимума с равными основаниями может быть принята любая точка последнего текущего интервала неопределенности (кроме точек,).

Первую итерацию приведенной схемы алгоритма равномерного поиска иллюстрирует рисунок 2.

Легко видеть, что после одной итерации алгоритма равномерного поиска текущий интервал неопределенности уменьшается в раз. Поэтому количество итерацийr, необходимых для нахождения минимума функции с точностью ε_x, может быть найдено из условия

.

Алгоритм равномерного поиска относится к классу прямых методов поиска. На одной итерации алгоритм относится к классу методов пассивного поиска.

Рисунок 2 - Первая итерация поиск минимума одномерной унимодальной функции Ф(х) с помощью алгоритма равномерного поиска: N=13; min.

Входные термины:

• задача условной оптимизации;

• одномерная унимодальная функция;

• метод последовательного поиска.

• прямой метод поиска;

• метод сокращения текущего интервала неопределенности.

Выходные термины:

• алгоритм деления пополам, алгоритм равномерного дихотомического поиска.