Глава 5. Методы поиска глобального минимума одномерных многоэкстремальных функций.

Некоторые методы решения многомерных задач оптимизации требуют решения задачи или задач одномерной глобальной минимизации. Данный класс задач представляет и самостоятельную ценность.

Входные термины:

• одномерная функция;

• унимодальная функция;

• мультимодальная функция;

• условная оптимизация;

• глобальная оптимизация.

Выходные термины:

• метод перебора;

• методы случайного поиска;

• метод выделения интервалов унимодальности;

• метод аппроксимирующих моделей.

§1. Метод перебора. Метод случайного поиска.

Рассмотрим задачу одномерной условной глобальной оптимизации

Φ(x)=Φ(x*), (1)

где Φ(x) - мультимодальная, вообще говоря, функция.

Метод перебора.

Схема метода перебора (рисунок 1).

1. Покрываем интервал [a,b] некоторой сеткой (не обязательно случайно) с узлами .

2. Производим испытание в точке - вычисляем значенияфункцииΦ(x) в этой точке.

3. Полагаем r=2.

4. Производим испытание в точке - вычисляем величину.

5. Если , то выполняем присваивания,.

6. Если , то выполняем присваиваниеи переходим на п. 4. Иначе - заканчиваем вычисления.

7. Принимаем в качестве приближенного значения точки глобального минимума или каким-либо из рассмотренных методов одномерной локальной оптимизации организуем в окрестности точки поиск локального минимума это функции●

При выборе количества узлов сетки можно исходить из требуемой точности решения– максимальный шаг сетки принять равным этой величине.

Отметим, что метод перебора, как и любой другой метод глобальной оптимизации, при отсутствии априорной информации о свойствах минимизируемой функции не гарантирует нахождение глобального минимума (см. пунктирный график на рисунке 1).

Рисунок 1 - К схеме метода перебора

Метод перебора классифицируется, как пассивный метод нулевого порядка. Если координаты узлов являются случайными величинами, то метод совпадает с методом случайного поиска.

Метод случайного поиска.

Схема метода случайного поиска.

1. Генерируем с помощью какого-либо программного генератора случайных чисел, равномерно распределенных в интервале [a,b], случайное число .

2. Производим испытание в точке - вычисляем значенияфункцииΦ(x) в этой точке.

3. Полагаем r=2.

4. Аналогично п. 1 генерируем случайное число .

5. Производим испытание в точке - вычисляем величину.

6. Если , то выполняем присваивания,.

7. Если , то выполняем присваиваниеи переходим на п. 4. Иначе - заканчиваем вычисления. ЗдесьN – количество испытаний.

8. Принимаем в качестве приближенного значения точки глобального минимумаили каким-либо из рассмотренных методов одномерной локальной оптимизации организуем в окрестности точки поиск локального минимума это функции●

При достаточно большом N метода гарантирует нахождение глобального минимума с высокой вероятностью

Метод классифицируется, как пассивный стохастический метод нулевого порядка.

Входные термины:

• одномерная функция;

• унимодальная функция;

• мультимодальная функция;

• условная оптимизация;

• глобальная оптимизация;

• метод перебора;

• методы случайного поиска;

• метод аппроксимирующих моделей.

Выходные термины:

• метод выделения интервалов унимодальности.