Лабораторная работа № 7.

Тема работы: Исследование устойчивости линейных систем управления с обратной связью.

Приборы и оборудование:

- Компьютер совместимый с IBM PC,128-512 Мб. ОЗУ;

- Операционная система WINDOWS NT, XP, UNIX;

- Математический пакет MATLAB Version 6.*, 6.5.*.

Цель работы: Экспериментальное исследование устойчивости линейных систем с обратной связью, изучение влияния параметров системы и её структуры на устойчивость, исследование устойчивости заданных систем с использованием критериев устойчивости.

Форма отчётности студентов: индивидуальный отчёт с типовым титульным листом и результатами моделирования.

Длительность работы: 4 академических часа.

Защита работы: собеседование с преподавателем по контрольным вопросам, выполнение индивидуальных заданий.

Краткие теоретические сведения.

Устойчивость – это способность системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после выхода из него в результате какого-либо воздействия.

Впервые строгое научное определение устойчивости было дано русским учёным А.М. Ляпуновым в 1892 г. в работе «Общая задача об устойчивости движения». Определение устойчивости Ляпунова оказалось настолько удобным и удовлетворяющим многим техническим задачам, что и в настоящее время принято как основное и продолжается его развитие.

Система обычно находится в состоянии движения, поэтому рассматривают устойчивость движения. Некоторое, вполне определённое движение системы, подлежащее исследованию на устойчивость, называют невозмущённым. Выбор невозмущённого движения является произвольным. Всякое иное движение, отличное от невозмущенного, является возмущённым движением системы.

Возмущённое движение по Ляпунову – это движение, отвечающее изменённым начальным условиям - возмущениям, на которые накладываются ограничения. Удобство теории Ляпунова состоит в том, что:

- невозмущённое и возмущённое движение рассматривается при одних и тех силах, изменяются только начальные условия движения;

- устойчивость рассматривается на бесконечно большом промежутке времени;

- возмущения предполагаются малыми.

Устойчивая система – это динамическая система, обладающая ограниченной реакцией на ограниченный входной сигнал.

Процессы в линейных системах описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Система считается устойчивой, если переходный процесс пристремиться к, т.е..

В понятие устойчивости входит только факт наличия или отсутствия затухания переходного процесса (быстрота и форма переходного процесса не имеют значения), поэтому определим свойства корней, при которых система будет устойчивой.

Переходный процесс определяется полюсами передаточной функции (корнями знаменателя ПФ или видом левой части дифференциального уравнения).

Обозначим через корни характеристического уравнения:

(1)

Корни уравнения (1) могут быть либо вещественными , либо комплексно-сопряженными.

Для того чтобы линейная САУ была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы вещественные части всех корней характеристического уравнения САУ были отрицательными, т.е.

Если хотя бы один вещественный корень или пара комплексных корней находятся на мнимой оси (), а все остальные корни расположены в левой полуплоскости, САУ находится на границе устойчивости.

Различают апериодическую (имеется хотя бы один нулевой корень) и колебательную (имеется хотя бы одна пара чисто мнимых корней) границы устойчивости. В последнем случае в системе устанавливаются незатухающие гармонические колебания.

Прямой путь определения устойчивости системы состоит в отыскании корней характеристического уравнения. Однако этот путь оказывается весьма трудоемким, особенно, если степень уравнения . Поэтому важно знать признаки, по которым можно судить об устойчивости САУ без непосредственного определения корней уравнения. Эти признаки называютсякритериями устойчивости.

Критерии устойчивости - это математическая трактовка условий, накладываемых на коэффициенты характеристического уравнения, обеспечивающих устойчивость системы. Критерии устойчивости делят на алгебраические и частотные.

С математической точки зрения критерии эквиваленты, однако выбор определённого критерия позволяет провести анализ устойчивости системы наиболее простым путём.

Критерии, которые позволяют судить об устойчивости системы с помощью только алгебраических процедур над коэффициентами характеристического уравнения, называют алгебраическими.

Критерии, которые позволяют судить об устойчивости системы по виду частотных характеристик системы, называют частотными.

Достоинством частотных критериев является их наглядность, а также возмож-ность использовать частотные характеристики, полученные экспериментально, когда не известны дифференциальные уравнения системы или ее элементов.