TAU_1 / Новая папка / ЛР 2 ТАУ 12

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2.

Преобразование Лапласа.

Нахождение оригинала функции по её изображению.

Цель работы: изучить преобразование Лапласа, его свойства, способы вычисления оригинала функции по её изображению, а также применение MATLAB к вычислению оригиналов функций по их изображениям. Закрепить полученные знания на практике.

Приборы и оборудование:

- Компьютер совместимый с IBM PC,128-512 Мб. ОЗУ;

- Операционная система WINDOWS NT, XP, UNIX;

- Математический пакет MATLAB Version 7.*.

Форма отчётности студентов: индивидуальный отчёт с типовым титульным листом и результатами моделирования.

Длительность работы: 4 академических часа.

Защита работы: собеседование с преподавателем по контрольным вопросам, выполнение индивидуальных заданий.

I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

Функция, которая подвергается преобразованию Лапласа, должна обладать следующими свойствами:

1. функция должна быть определена и дифференцируема по всей положительной полуоси ;

2. функция должна быть тождественно равна 0 при , т.е. ( при );

3. функция должна быть ограниченна, т.е. для функции существуют такие положительные числа М и с, что при , т.е. , где с – абсцисса абсолютной сходимости (некоторое положительное число).

Преобразование Лапласа это соотношение вида , ставящее функции вещественного переменного в соответствие функцию комплексного переменного ().

При этом называется оригиналом, – изображением.

Символическая запись преобразования Лапласа, а именно,

, где – оператор прямого преобразования Лапласа.

Нахождение оригиналов функций по их изображениям

Если изображение функции является дробно-рациональной функцией вида

, то

нахождение оригиналов по аналитическим формулам:

1. Корни простые, вещественные:

. (1)

2 Корни простые, вещественные и один корень нулевой, т.е. .

. (2)

3. Корни комплексно-сопряженные: (считается для одного корня) , если (3)

4. Корни комплексно-сопряженные и один нулевой:

; (4)

II. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

Определим порядок вычисления оригинала функции по его изображению:

1. Вычислить корни полинома : .

Число корней равно порядку полинома .

2. Выбрать формулу для расчёта оригинала.

3. Вычислить производную .

4. Вычислить значения полиномов и при подстановке корней полинома знаменателя.

5. Вычислить значения коэффициентов при функциях .

Пример 1:

.

1. .

2. Корни вещественные, выбираем формулу (1): .

3. Вычисляем .

.

Рассмотрим пример вычисления с использованием MATLAB:

>> p=[1 5 4]; - коэффициенты полинома знаменателя;

>> r=roots(p) – вычисление корней знаменателя;

r =

-4

-1

>>r1=-4; r2=-1;

>> dp=polyder(p) – вычисление коэффициентов производной ;

dp =

2 5

>> A1=polyval(dp,r1) – вычисление для первого корня;

A1 = 3

>> A2=polyval(dp,r2) – вычисление для второго корня;

A2 = -3

>>В0=3

>> C1=В0./A1 – вычисление коэффициента при первом корне;

C1 = 1

>> C2=В0./A2 – вычисление коэффициента при втором корне;

C2 = -1

>> t=[0:0.01:5] – интервал времени и шаг счёта;

>> x=C1.*exp(r1*t)+C2.*exp(r2.*t);

>> plot(t,x),grid on, xlabel('Time(sec)'), ylabel('x(t)')

Пример 2:

1. .

2. Корни вещественные, выбираем формулу (2): .

3. Вычисляем .

.

Воспользуемся результатами расчёта из примера 1 и пересчитаем коэффициенты:

>>C3=C1./(r1) – вычисление коэффициента при первом корне;

C3 = -1

>> C4=C2./(r2) – вычисление коэффициента при втором корне;

C4 = 0.2500

>>А0=4;

>>С0=В0./А0 – вычисление коэффициента при нулевом корне;

С0=0.75

>> x1=С0+C3.*exp(r1.*t)+C4.*exp(r2.*t);

>> plot(t,x1),grid on, xlabel('Time(sec)'), ylabel('x1(t)')

Пример 3: .

1. .

2. Корни комплексно-сопряжённые, выбираем (3)

3. Вычисляем

4. Расчёт для одного корня: .

Представим комплексный корень в тригонометрическом виде

, тогда

.

Алгоритм вычисления оригинала функции, если корни знаменателя комплексные, остаётся прежним.

>> p=[1 2 5];

>> r=roots(p)

r = -1.0000 + 2.0000i

-1.0000 - 2.0000i

>>r1=-1+2.*i – выбираем один из корней и для него проводим вычисления;

>> dp=polyder(p) – вычисление коэффициентов производной ;

dp =

2 2

>> A1=polyval(dp, r1) – вычисление для выбранного корня

A1 =0 + 4.0000i

>>B0=2;

>> C1=B0./A1 – вычисление коэффициента при выбранном корне;

C1 =0 - 0.5000i

>> t =[0:0.01:5];

>> x= exp(-1.*t).*sin(2.*t);

>> plot(t,x), grid on, xlabel('Time(sec)'), ylabel('x(t)').

Пример 4: .

1. .

2. Корни комплексно-сопряжённые и один нулевой, выбираем(4)

3. Вычисляем

4. Расчёт для одного корня: .

Воспользуемся результатами расчёта из примера 3 и пересчитаем коэффициенты

>>C3=С1./r1 – вычисление коэффициента при выбранном корне;

>>C3 =- 0.2000 +0.1000i

>>A0=5;

>>C0=B0./A0 – вычисление коэффициента при нулевом корне;

|>>0.4000

>> x1=C0 – 0.4.*exp(-1.*t).*cos(2.*t) – 0.2.*exp(-1.*t).*sin(2.*t));

>> plot(t,x1), grid on, xlabel('Time(sec)'), ylabel('x1(t)')

III. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Выбрать из таблицы 1 в соответствии с номером варианта изображения функции для выполнения заданий 1 и 2.

Задание 1.

1. Вычислить самостоятельно оригинал х(t) по изображению , используя формулу (1) и пример 1.

2. Определить начальное и конечное значение функции, используя теоремы о предельных значениях из свойств преобразования Лапласа.

3. Определить оригинал функции с применением вычислительных процедур в пакете MATLAB и построить график этой функции x(t).

Задание 2.

1. Вычислить самостоятельно оригинал х(t) по изображению , используя формулу (2) пример 2.

2. Определить начальное и конечное значение функции, используя теоремы о предельных значениях из свойств преобразования Лапласа.

3. Определить оригинал функции с применением вычислительных процедур в пакете MATLAB и построить график этой функции x(t).

Выбрать из таблицы 1 свой вариант изображения функции для вычисления оригинала функции для выполнения заданий 3 и 4.

Задание 3.

1. Вычислить самостоятельно оригинал х(t) по изображению , используя формулу (3) и пример 3.

2. Определить начальное и конечное значение функции, используя теоремы о предельных значениях из свойств преобразования Лапласа.

3. Определить оригинал функции с применением вычислительных процедур в пакете MATLAB и построить график этой функции x(t).

Задание 4.

1. Вычислить самостоятельно оригинал х(t) по изображению , используя формулу (4) и пример 4.

2. Определить начальное и конечное значение функции, используя теоремы о предельных значениях из свойств преобразования Лапласа.

3. Определить оригинал функции с применением вычислительных процедур в пакете MATLAB и построить график этой функции x(t).

Варианты заданий

№	Задание 1(2)	Задание 3(4)	№	Задание 1(2)	Задание 3(4)
1			23
2			24
3			25
4			26
5			27
6			28
7			29
8			30
9			31
10			32
11			33
12			34
13			35
14			36
15			37
16			38
17			39
18			40
19			41
20			42
21			43
22			44

IV. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЁТА.

1. Изображения заданных функций для каждого задания.

2. Вычисление оригинала функции по её изображению с использованием Matlab.

3. Начальные и конечные значения функций, определённые по предельным теоремам.

4. Графики функций по каждому заданию.

V. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.

1. Какими свойствами должна обладать функция, подвергаемая преобразованию Лапласа?

2. Дайте определение преобразования Лапласа.

3. Дайте определение передаточной функции в изображениях по Лапласу.

4. Какие значения комплексной переменной называются полюсами?

5. Какие значения комплексной переменной называются нулями?

6. Укажите взаимосвязь и различие между операторной передаточной функцией и передаточной функцией в преобразованиях Лапласа.

8