Калужский филиал

федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана»

(КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана)

Мышляева С.В.

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Методические указания

по выполнению домашнего задания № 3

«Основы теории управления»

для студентов специальности 230104.65

Системы автоматизированного проектирования

Задание. Для линейной стационарной системы управления провести анализ устойчивости и точности в установившемся режиме при отработке типовых воздействий.

Цель работы.

1. Научиться определять:

- устойчивость системы управления по характеру протекающих в ней процессов, по корням характеристического уравнения, по критериям устойчивости;

- точность системы управления в установившемся режиме при отработке типовых воздействия, коэффициенты ошибок;

Содержание работы:

1. Провести анализ устойчивости заданной замкнутой системы управления:

• по коэффициентам характеристического уравнения системы;

• по нулям и полюсам передаточной функции системы;

• по переходной функции системы;

• по критерию Гурвица;

• по критерию Михайлова;

• по критерию Найквист;

• по логарифмическим характеристикам разомкнутой системы (запасы по фазе и амплитуде).

2. Провести анализ точности системы в установившемся режиме при отработке типовых воздействий. Определить:

• передаточную функцию замкнутой системы управления по ошибке по задающему воздействию;

• ошибку системы управления по передаточной функции и теореме о конечном значении функции;

• коэффициенты ошибок.

Краткие теоретические сведения

Общее условие устойчивости линейных систем

Общее решение однородного дифференциального уравнения ищется в виде

, где -корни характеристического полинома А(s)=0.

Для затухания переходного процесса необходимо, чтобы вещественные части корней были отрицательными, т.е. лежали в левой полуплоскости плоскости корней.

Мнимая ось плоскости корней служит границей устойчивости.

Рис.1 Комплексная плоскость

Вывод: Для того чтобы линейная система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали слева от мнимой оси плоскости корней.

Необходимое условие устойчивости

Рассмотрим характеристический полином системы

, где - корни характеристического уравнения.

Если вещественные части корней характеристического уравнения отрицательные, то оно будет иметь следующий вид:

Раскрывая скобки, получим уравнение, где все коэффициенты будут положительными.

Вывод: Необходимым условием устойчивости системы является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения, т.е.

.

Для систем первого и второго порядка необходимое условие устойчивости является и достаточным.

Для систем более высокого порядка этого условия устойчивости недостаточно.

Критерии устойчивости

Для определения устойчивости системы без вычисления корней характеристического уравнения были разработаны критерии устойчивости. С помощью критериев устойчивости можно не только определить устойчивость системы, но и выяснить, как влияют на устойчивость системы изменения её параметров, а также структурные изменения в системе.

Критерий устойчивости Гурвица

Для характеристического уравнения составим квадратную матрицу, содержащую строк и столбцов.

Правило формирования определителя Гурвица: По главной диагонали от левого верхнего до правого нижнего угла вписываются все коэффициенты по порядку от до . Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечётными и чётными индексами.

В случае отсутствия данного коэффициента на его месте записывается «0».

Критерий устойчивости сводится к тому, что при должны быть больше нуля все определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов. Номер определителя определяется номером коэффициента, для которого составляется определитель.

и т.д.

Критерий Гурвица: Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители данной системы были положительными при , т.е. .

Если определитель Гурвица равен 0, то система находится на границе устойчивости, т.е. . Последнее равенство возможно в двух случаях: или . В первом случае система находится на границе апериодической устойчивости (один корень характеристического уравнения нулевой), во втором случае – на границе колебательной устойчивости (характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней).

Критерий устойчивости Михайлова

Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид:

.

Если все корни уравнения находятся в левой части комплексной плоскости , то система устойчива, тогда в правой части плоскости корней нет, т.е. и изменение аргумента кривой Михайлова: .

Вывод: Система управления является устойчивой, если при возрастании частоты от 0 до изменение (приращение) аргумента вектора будет равно , где — степень характеристического уравнения .

Уравнение характеристической кривой определяют подстановкой в многочлен и последующим разделением действительной и мнимой частей:

, где

- действительная часть годографа Михайлова;

- мнимая часть годографа Михайлова, где

.

Построение кривой Михайлова можно провести методом контрольных точек, соответствующих фиксированным значениям частоты , включая частоты пересечения кривой с осями координат, которые находятся как корни уравнений и .

При последовательном прохождении квадрантов кривая Михайлова пересекает вещественную и мнимую оси поочерёдно (,; или , и т.д.). Значения частот, при которых происходит пересечение кривой Михайлова с вещественной и мнимой осью, находятся как корни уравнений и .

Если принять, что - корни , причём , а

- корни , причём ., то для устойчивой системы обязательно соблюдение неравенства .

Для устойчивости системы корни системы должны перемежаться и быть вещественными, а сумма корней должна быть равна порядку уравнения .

Условие перемежаемости частот позволяет отказаться от построения кривой Михайлова.

Критерий устойчивости Найквиста

Критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы.

Система устойчива в разомкнутом состоянии.

Если разомкнутая система устойчива, то для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до годограф разомкнутой системы не охватывал критическую точку в положительном направлении (против часовой стрелки).

Система неустойчива в разомкнутом состоянии.

Если разомкнутая система неустойчива, то для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до годограф разомкнутой системы охватывал критическую точку в положительном направлении l/2 раз, где l — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

При сложной форме годографа могут возникнуть затруднения при определении числа её оборотов вокруг критической точки . В этом случае используют правило переходов, предложенное Я.З. Цыпкиным.

Назовём переход характеристики ) через отрезок вещественной отрицательной полуоси левее критической точки положительным, если он происходи сверху вниз, и отрицательным, если он происходит снизу верх. Если характеристика начинается или заканчивается на отрезке левее критической точки , то в этих случаях она совершает полперехода.

Если разомкнутая система неустойчива, то для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до разность отрицательных и положительных переходов годографа разомкнутой системы через отрезок вещественной отрицательной полуоси левее критической точки была равна l/2 раз, где l — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

АФЧХ разомкнутых статических систем при изменении частоты от 0 до образуют замкнутый контур. У астатических разомкнутых систем при годограф начинается в бесконечности. Для определения устойчивости систем с астатизмом любого порядка необходимо начало АФЧХ разомкнутой системы мысленно дополнить дугой бесконечного радиуса против часовой стрелки до пересечения с вещественной положительной полуосью (т.е. сделать контур замкнутым) и применить соответствующее правило по критерию устойчивости Найквиста.

Рис.2 Критерий Найквиста для астатических систем.

2. Анализ точности в установившемся режиме.

Для определения ошибки в установившемся режиме необходимо уметь вычислять передаточные функции системы при поступлении на неё разных по виду и месту приложения воздействий.

Рассмотрим типовую одноконтурную систему управления, на которую поступает задающее воздействие, содержащее цель управления, и возмущение :

Определим передаточные функции системы для разных воздействий и приведём формулы упрощённого вычисления передаточных функций.

Передаточная функция прямой цепи по задающему воздействию при ().

1. Передаточная функция разомкнутой системы по при ().

,

где - общий коэффициент усиления, - многочлены с единичными коэффициентами при младших членах.

2. Передаточная функция замкнутой системы по при ().

, где

3. Передаточная функция замкнутой системы по ошибке по задающему воздействию при ().

Передаточная функция прямой цепи по возмущению при ()

4. Передаточная функция разомкнутой системы по возмущению при ()

5. Передаточная функция замкнутой системы по возмущению при ()

, где - многочлен зависит от места приложения возмущающего воздействия.

6. Передаточная функция замкнутой системы по ошибке по возмущению при ().

Для замкнутой системы изображение выходного сигнала имеет вид:

.