Лабораторная работа №5. Определение частотных характеристик систем автоматического управления.

Цель работы: Экспериментальное определение амплитудных и фазовых характеристик типовых линейных звеньев.

Теоретические сведения.

Частотные характеристики имеют важное значение при описании линейных стационарных систем. Частотные характеристики описывают установившиеся вынужденные колебания на выходе системы при подаче на вход гармонического воздействия.

Частотные характеристики – это реакция системы на гармоническое воздействие в установившемся режиме.

Частотные характеристики являются энергетическими характеристиками системы, которые устанавливают связь между спектрами входного и выходногосигналов, представляющих собой преобразование Фурье от функции времени.

Комплексно-значную функцию от действительной переменной, устанавливающую связь между спектрами выходного сигнала и входного воздействия, называют частотной передаточной функцией, а её графическое изображение амплитудо-фазочастотной характеристикой (АФЧХ.)

На комплексной плоскости определяет вектор, длина которого равна амплитудеA(ω_i), а аргумент (угол, образованный этим вектором с действительной положительной полуосью) - фазе φ(ω_i) для каждого фиксированного значения частоты ω=ω_i.

Рис. 3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика.

Кривая, представляющая собой геометрическое место точек при изменении частоты от 0 до,называется годографом или АФЧХ. (рис. 3.1.).

Комплексно-значная функция может быть построена в декартовых и полярных координатах, т. е. её можно представить в виде

, где

-действительная (вещественная) частотная функция, график которой, построенный при изменении частоты от 0 до ∞ называется действительной частотой характеристикой (ДЧХ);

- мнимая частотная функция, а её график – мнимая ЧХ (МЧХ). Модуль называют амплитудно-частотной функцией, а её график - амплитудо-частотной характеристикой (АЧХ);

Аргументназывают фазочастотной функцией, а её график – фазочастотной характеристикой (ФЧХ).

Для построения функции необходимо освободиться от комплексного числа в знаменателе, т.е. выделить действительную и мнимую часть функции:

.

Функции однозначно связаны между собой.

.

; .

На практике при построении ФЧХ можно использовать два способа. Первый способ позволяет определить значения ФЧХ через значения нулей и полюсов передаточной функции.

Второй способ позволяет определить ФЧХ с использованием действительной и мнимой частотных функций:

, если .

Если суммарный фазовый сдвиг превышает 90 градусов, то для правильного построения ФЧХ необходимо использовать следующие правила.

Определим физический смысл частотных характеристик:

если на вход устойчивой системы подается гармонический сигнал с некоторой амплитудой и частотой, то на выходе в установившемся режиме имеет место также гармонический сигнал с той же частотой, но уже с другими амплитудой и фазой. Следовательно, АЧХ показывает изменение отношения амплитуд, а ФЧХ – сдвиг фазы выходного сигнала относительно входного в зависимости от частоты входного гармонического воздействия.

Логарифмические частотные характеристики

При исследовании систем АЧХ и ФЧХ удобно строить в логарифмическом масштабе. Это связано с двумя обстоятельствами: логарифмические кордиты позволяют упрощённо изображать АЧХ ломаными линиями, а также значительно упрощается построение АЧХ цепочки последовательно соединённых звеньев.

АЧХ в логарифмических координатах строится в виде зависимости оти называетсялогарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ или ЛАХ), а ФЧХ в виде зависимости оти называется логарифмической фазовой характеристикой (ЛФЧХ).

Для построения ЛАЧХ находится функция .

Значения этой функции выражаются в децибелах. Бел представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности. Один бел соответствует увеличению мощности, в 10 раз, 2 бела — в 100 раз, 3 бела — в 1000 раз и т. д.

Децибел равен одной десятой части бела. Если бы было отношением мощностей, то перед логарифмом в правой части должен был бы стоять множитель 10. Так какпредставляет собой отношение не мощностей, а выходной и входной величин (перемещений, скоростей, напряжений, токов и т. п.), то увеличение этого отношения в десять раз будет соответствовать увеличению отношения мощностей в сто раз, что соответствует двум белам или двадцати децибелам. Поэтому в правой части стоит множитель 20.

Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ используется стандартная сетка (рис. 3.2). По оси абсцисс откладывается угловая частота  [1/с] в логарифмическом масштабе, т. е. наносятся отметки, соответствующие , а около отметок пишется само значение частотыврад/сек. Равномерной единицей на оси абсцисс является декада.

Декада- это интервал, на котором частота изменяется в 10 раз.

Рис. 3.2.

Поскольку , то начало координат чаще всего берется в точке=1 (исключая точку  = 0, т.к.). Таким образом, начало координат можно брать в любой точке (в зависимости от интересующего нас диапазона частот).

Частота пересечения L() с осью абсцисс называется частотой среза и обозначается _ср.

По оси ординат откладывается модуль в децибелах (дб). Для этой цели на ней наносится равномерный масштаб. Ось абсцисс должна проходить через точку 0 дб, что соответствует значению модуля , так как логарифм единицы равен нулю. Ось ординат может пересекать ось абсцисс (ось частот) в произвольном месте. Следует учесть, что точкалежит на оси частот слева в бесконечности, так как. Поэтому ось ординат проводят так, чтобы справа от нее можно было показать весь ход ЛАЧХ.

Для построения ЛФЧХ используется та же ось абсцисс (ось частот). По оси ординат откладывается фаза в градусах (радианах) в линейном масштабе.

Главным достоинством логарифмических амплитудных частотных характеристик является возможность построения их без вычислительной работы, т.е. результирующая ЛАЧХ может быть приближенно построена в виде так называемой асимптотической ЛАЧХ, представляющей собой совокупность отрезков прямых линий с наклонами, кратными величине 20 дб/дек.