Лабораторная работа №1. «Математические модели линейных стационарных систем управления»

Цель работы: изучить способы математического описания линейных систем управления, освоить основные приёмы моделирования систем управления в среде Simulink.

Приборы и оборудование:

- Компьютер совместимый с IBM PC,128-512 Мб. ОЗУ;

- Операционная система WINDOWS NT, XP, UNIX;

- Математический пакет MATLAB Version 7.*.

Форма отчётности студентов: индивидуальный отчёт с типовым титульным листом и результатами моделирования.

Длительность работы: 4 академических часа.

Защита работы: собеседование с преподавателем по контрольным вопросам, выполнение индивидуальных заданий.

I. Теоретическая часть

Динамическая система – это весьма широкое понятие, которое охватывает разнообразные физические процессы, протекающие во времени и пространстве. Характер подобного процесса, его закон описывается некоторой системой дифференциальных уравнений (ДУ).

Система дифференциальных уравнений, описывающая некоторый пространственно-временной процесс, представляет собой математическую модель динамической системы.

Большой класс динамических систем описывается линейными дифференциальными уравнениями.

Математические модели непрерывных линейных систем.

Классический метод исследования линейных непрерывных систем основан на составлении и последующем решении дифференциальных уравнений, связывающих координаты системы с поступающими воздействиями.

Для составления математической модели системы необходимо разбить её на звенья направленного действия.

Это звено может являться техническим устройством любой физической природы, конструкции и назначения. Для получения общего уравнения системы рассматривают каждое звено в отдельности и составляют для него уравнения, связывающие вход и выход. Уравнение динамики каждого отдельного звена является предметом соответствующей научной дисциплины (динамика, механика, электротехника, теплофизика, химия и т.д.). Деление системы на отдельные звенья позволяет рассматривать выходной сигнал одного звена в качестве входного для последующего.

Дифференциальное уравнение – это первая форма записи математической модели системы. Из-за сложности реальных систем и воздействий решить ДУ в аналитическом виде можно только в простейших случаях. Задача упрощается при введении второй формы записи - передаточной функции, т.к. позволяет решить ДУ алгебраически. Третья форма записи математической модели – частотные характеристики. Они дают ясное физическое толкование свойств элементов и систем. Частотные характеристики дают привычное для инженеров графическое изображение динамических характеристик.

Математическая модель одной и той же системы может быть различной в зависимости от цели исследования. Математическая модель, с одной стороны, должна как можно полнее отражать свойства оригинала, с другой стороны, быть по возможности простой.

Математическое описание систем с помощью ду.

Рассмотрим детерминированную непрерывную стационарную динамическую систему, состоящую из звеньев, описываемых линейными диф. уравнениями с постоянными коэффициентами.

, (1)

Где - параметры системы при.

Число называется порядком диф. уравнения или порядком системы. Введём для для операции дифференцированияоператор дифференцирования , т.е. или, тогда уравнение (1)запишется в виде:

(2)

При записи и преобразовании ДУ оператор дифференцирования нужно рассматривать как алгебраический сомножитель, а выражение как произведение, не обладающее свойством коммутативности.

Учитывая это замечание, вынесем иза скобки:

(3)

Т.о., мы перешли к форме записи ДУ, которая называется операторной или символической.

Линейные ДУ с постоянными коэффициентами записывают в теории управления в стандартной форме. При этом члены, содержащие выходную величину и её производные, записываются в левой части уравнения, а все остальные в правой. В правой части члены, содержащие входную величину и её производные, объединяют в одну группу и коэффициент выносят за скобки. Коэффициенты при выходной и входной величине делают равным 1.

(4)

Введём обозначения: .

Это постоянные времени, которые характеризуют инерционные свойства системы.

- коэффициент передачи или передаточный коэффициент, который характеризует уровень сигнала на выходе системы.

Окончательно получаем уравнение (1) в стандартной форме:

(5)