Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана»

Калужский филиал

Мышляев Ю.И., Мышляева С.В.

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ

СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Методические указания

по выполнению домашнего задания № 2 по дисциплине

«Основы теории управления»

Калуга, 2011

Цель работы: научиться вычислять частотные характеристики линейных непрерывных стационарных систем управления с использованием аналитических зависимостей и стандартных функций в пакете MATLAB.

Содержание работы:

1. Провести анализ заданной системы в частотной области:

Вычислить и построить для замкнутой системы:

• действительную частотную функцию (ДЧХ);

• мнимую частотную функцию (МЧХ) ;

• частотную передаточную функцию (АФЧХ);

• амплитудно-частотную функцию (АЧХ);

• фазочастотную функцию (ФЧХ) ;

• логарифмическую амплитудно-частотную функцию (ЛАЧХ) точную и в асимптотах;

• логарифмическую фазочастотную функцию (ЛФЧХ).

Краткие теоретические сведения

Частотные характеристики – реакция системы на гармоническое воздействие в установившемся режиме.

Комплексно-значную функцию от действительной переменной , устанавливающую связь между спектрами выходного сигнала и входного воздействия, называют частотной передаточной функцией, а её графическое изображение амплитудо-фазочастотной характеристикой (АФЧХ).

Рис.1 Амплитудно-фазовая частотная характеристика.

На комплексной плоскости W(jω) определяет вектор для каждого фиксированного значения частоты ω=ω_i, длина которого равна A(ω_i), а аргумент (угол, образованный этим вектором с действительной положительной полуосью) - φ(ω_i.).

Кривая, представляющая собой геометрическое место точек при изменении частоты от 0 до , называется годографом или АФЧХ.

Комплексно-значная функция может быть построена на комплексной плоскости, т. е. её можно представить в виде

, где

-действительная частотная функция, график которой, построенный при изменении частоты от 0 до ∞ называется действительной ЧХ (ДЧХ);

- мнимая частотная функция, а её график – мнимая ЧХ (МЧХ).

Модуль называют амплитудно-частотной функцией, а её график - амплитудо-частотной характеристикой (АЧХ);

Аргумент называют фазочастотной функцией, а её график – фазочастотной характеристикой (ФЧХ).

(1)

Функции однозначно связаны между собой.

; (2)

, где . (3)

Фазочастотные характеристики систем, имеющих порядок характеристического полинома , проходят в нескольких квадрантах, поэтому при построении ФЧХ необходимо использовать определённые правила, учитывающие переход характеристики из одного квадранта в другой (ЧС - часовая стрелка).

(4)

На практике используется другой вариант определения ФЧХ через значения нулей и полюсов передаточной функции:

.

Логарифмические частотные характеристики

При исследовании систем управления амплитудные и фазовые характеристики удобно строить в логарифмическом масштабе. Это связано с двумя обстоятельствами: логарифмические координаты позволяют упрощённо изображать АЧХ ломаными линиями, а также значительно упрощается построение АЧХ цепочки последовательно соединённых звеньев.

АЧХ в логарифмических координатах строится в виде зависимости от и называется логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ или ЛАХ), а ФЧХ в виде зависимости от и называется логарифмической фазовой характеристикой (ЛФЧХ).

Единицей измерения амплитуды является децибел. Бел - единица десятичного логарифма коэффициента усиления мощности сигнала, представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности. Один бел соответствует увеличению мощности в 10 раз, 2 бела — в 100 раз, 3 бела — в 1000 раз и т. д.

По оси абсцисс откладывается частота [1/с] в логарифмическом масштабе Равномерной единицей на оси абсцисс является декада.

Декада- это интервал, на котором частота изменяется в 10 раз. Частота _ср, на которой L() пересекается с осью абсцисс, называется частотой среза. Поскольку , то начало координат чаще всего берется в точке =1 (исключая точку  = 0, т.к.). Таким образом, начало координат можно брать в любой точке (в зависимости от интересующего нас диапазона частот).

По оси ординат откладывается модуль в децибелах (дб). Для этой цели на ней наносится равномерный масштаб. Ось абсцисс должна проходить через точку 0 дб, что соответствует значению модуля , так как логарифм единицы равен нулю. Ось ординат может пересекать ось абсцисс (ось частот) в произвольном месте так, чтобы справа от нее можно было показать весь ход ЛАЧХ.

Для построения ЛФЧХ используется та же ось абсцисс (ось частот). По оси ординат откладывается фаза в градусах (радианах) в линейном масштабе.

Главным достоинством логарифмических амплитудных частотных характеристик является возможность построения их во многих случаях практически без вычислительной работы. Частотная передаточная функция может быть представлена в виде произведения сомножителей. Результирующая ЛАЧХ может быть приближенно построена в виде так называемой асимптотической ЛАЧХ, представляющей собой совокупность отрезков прямых линий с наклонами, кратными величине 20 дб/дек.