Мат. анализ, 2 часть; 1 семестр(2)

Выберем в качестве наименьшее из чисел 1, 2, 3 . Тогда внутри U (t0 ) будут справедливы все три неравенства:

limr(t) R .

t t0

Теорема доказана.

Опр. Векторная функции r(t) называется непрерывной в точке t0 , если существует предел r(t) при t t0 и он равен

limr t r(t0).

t t0

Очевидно, определение непрерывности вектор-функции также формально не отличается от определения непрерывности обычной функции. Переформулируем

это определение в терминах приращений.

Пустьt t0 , r t0 x t0 i y t0 j z t0 k .

Придадим аргументу t приращение t .

r t t x t0 t i y t0 t j z t0 t k.

Вектор r r t0 t r t0 называется приращением вектор-функции r(t) в

точке t0 , отвечающим приращению t независимой переменной t (рис. 4).

Очевидно, что

r (x t t0 x(t0))i (y t t0 y(t0)) j (z t t0 z(t0))k,

Рис. 4. Приращение вектор-функции.

71

Итак, производная векторной функции r(t)– есть вектор, направленный по касательной к годографу этой функции в направлении роста независимой переменной t. Длина этого вектора равна производной длины дуги в точке t0 .

Выясним теперь механический смысл производной векторной функции. Рассмотрим частицу (материальную точку), движущуюся в пространстве

произвольным образом по некоторой траектории (рис. 5). Пусть r(t)– радиусвектор частицы в текущий момент времени t. Тогда, как уже говорилось выше, годограф – это траектория (путь) движения частицы.

Рис. 5. Движение частицы в пространстве.

Опр. Средней скоростью частицы за промежуток времени (t0 ,t0 t)

называется вектор

vср r .

t

Опр. Мгновенной скоростью движения частицы в момент времени t0

называется предел средней скорости за промежуток t при t 0, т.е. вектор

§4. Уравнение касательной к пространственной кривой.

Пусть пространственная кривая L задана уравнением:

r x t i y t j z t k.

Пусть M(x0, y0,z0) – произвольная точка, лежащая на этой кривой, и

соответствующая значению t t0 : x0 x(t0), y0 y(t0), z0 z(t0). Поскольку вектор r'(t0 ) x' t0 , y' t0 ,z' t0 направлен по касательной к годографу вектор-функции

r(t), он является направляющим вектором касательной к кривой L. Поэтому уравнение касательной к кривой L в точке M имеет вид:

73

§5. Правила дифференцирования векторной функции.

Справедливы следующие формулы дифференцирования векторной функции.

1)r1(t) r2(t) ' r1' r2', при условии, что две последние производные существуют.

2)(cr t )' cr ', где c – постоянная.

§6. Теорема о производной вектор-функции постоянной длины.

Пусть r t - вектор функция, причем Причем r t const т.е. от t зависит только название вектора r . В этом случае будем называть вектор-функцию r t

вектор-функцией постоянной длины.

Теорема. Производная вектор-функции постоянной длины длины r(t)– есть

вектор, перпендикулярный к самому вектору r(t): r r ' 0.

Доказательство. Производная скалярного квадрата вектора r , очевидно,

равна:

(r r)' r' r r r' 2r r'.

Сдругой стороны, та же производная равна:

r r ' r 2 ' 0,

поскольку

r t const.

Таким образом, r r ' 0.

Теорема доказана.

Физический смысл этой теоремы состоит в том, что тангенциальная скорость частицы, движущейся по поверхности сферы (в частности – по окружности), перпендикулярна радиус-вектору частицы.

Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что касательная прямая к сфере (окружности) в точке касания перпендикулярна радиус-вектору этой точки.

74