Elektrotekhnika_Lektsii

Геометрическая интерпретация уравнения (6) на комплексной плоскости приведена на рис. 2.2.б. Это так называемая комплексная векторная диаграмма является с учетом масштаба точным аналогом векторной диаграммы, приведенной на рис.2.2.a.

уравнений в комплексной форме – комплексным или символическим. Забегая вперед, отметим, что расчет цепей комплексным методом имеет значительные преимущества перед методом расчета по мгновенным значениям.

2.4. Пассивные элементы электрической цепи.

Резистор r , индуктивность L и емкость C являются пассивными элементами электрической цепи. Резистор r или активное сопротивление цепи – это элемент, в котором происходит рассеивание энергии в виде тепла или превращение электрической энергии в другой вид энергии: в световую, химическую или механическую.

Индуктивность L и емкость C называются реактивными элементами цепи, в них происходят накапливание энергии в виде магнитного или электрического поля. Рассеивание энергии в таких элементах отсутствует. Идеальные элементы r, L, C на схеме обозначаются так, как это показано на рис. 2.3а.

Реальные катушки индуктивности и конденсаторы рассеивают часть энергии. Этот факт учитывается с помощью добавочных сопротивлений rK для

катушки и rутечки для конденсаторов, рис. 2.3б. В проволочных сопротивлениях и катушках индуктивности учитывают также межвитковую емкость Cm , рис 2.3б.; в реальном конденсаторе можно учесть паразитную

индуктивность подводящих контактов Lдоб , рис. 2.3б.

31

Рассмат ривая пассивные элементы цепи r , L, C ответим на следующие вопросы:

1.Каково соотношение между мгновенным значением тока и напряжения на каждом элементе? Каков вид векторов тока и напряжения?

2.Каковы мгновенная мощность p(t) и накопленная энергия магнитного или электрического полей?

3.Каково соотношение тока и напряжения на элементе в комплексной форме, как изображаются вектора тока и напряжения на комплексной

плоскости.

Под мгновенным значением мощности p(t) понимают произведение мгновенного значения напряжения u(t) на элементе цепи на мгновенное значение протекающего по элементу тока i(t):

p(t) u(t) i(t) .

2.5. Резистивный элемент.

2.5.1. Пусть ток в резисторе:

i(t) Im sin t .

Мгновенное значение напряжения на резисторе:

u(t) iR Im R sin t Um sin t

32

2.5.2. Мгновенная мощность p(t) равна:

p(t) u(t) i(t) Um Im sin2 t

Um Im 1 cos 2 t UI 1 cos 2 t

2

Временные диаграммы i(t), u(t), p(t) приведены на рис.2.4в. Мощность р(t) имеет постоянную составляющую или среднее значение, называемое активной мощностью Р:

1 T

P T 0 p(t)dt UI

Активная мощность Р измеряется в ваттах (Вт).

2.5.3. В комплексной форме напряжение на резисторе записывается в виде

U I r

Векторы тока и напряжения на комплексной плоскости приведены на рис. 2.4г.

33

2.6. Индуктивный элемент в цепи синусоидального тока.

Индуктивный элемент учитывает явления накапливания энергии магнитного поля и характеризуется зависимостью потокосцепления от тока i:

Рис.2.5

2.6.1. Мгновенное значение напряжения на индуктивности:

uL (t) eL L dtdi

Здесь eL (t) - ЭДС, наводимая изменяющимся во времени магнитным потоком.

Векторы тока и напряжения показаны на рис. 2.5б. Напряжение опережает

ток в катушке на угол 2 . Закон Ома для индуктивности:

34

где xL L - индуктивное сопротивление катушки, измеряется в Омах

(Ом). Сопротивление xL - частично зависимая величина, увеличивается с ростом частоты, рис. 2.5в.

Um Im sin 2 t UI sin 2 t Q sin 2 t

2

Мощность Q UI называется реактивной и измеряется в вольт-амперах реактивных (ВАр). Временные диаграммы w(t), i(t) и p(t) для катушки приведены на рис. 2.5г. Средняя мощность равна нулю, т.е. рассеивание мощности или потери отсутствуют. Энергия магнитного поля катушки равна:

енная диаграмма W(t), приведена на рис. 2.5д. Максимальная энергия магнитного поля катушки:

WL max LI 2 .

2.6.3. Напряжение на индуктивности в комплексной форме.

Так как напряжение на катушке:

Здесь jxL j L - индуктивное сопротивление в комплексной форме.

35

Вектора тока и напряжения на комплексной плоскости приведены на рис. 2.5е.

2.7. Емкостный элемент в цепи синусоидального тока.

Емкость отражает явление накапливания электрического поля и характеризуется зависимостью заряда q от напряжения u : C uq

Рис.2.6

2.7.1. Мгновенное значение напряжения на конденсаторе:

Это напряжение отстает от тока на угол 2 .

Векторы тока и напряжения приведены на рис.2.6б.

36

Закон Ома для емкости:

Емкостное сопротивление уменьшается с ростом частоты. Зависимость xC от частоты приведена на рис. 2.6.в.

2.7.2. Мгновенная мощность на конденсаторе:

Um Im sin 2 t UI sin 2 t Q sin 2 t

2

Q – реактивная мощность конденсатора. Временные диаграммы uC (t) , i (t), p

(t) приведены на рис. 2.6г.

Среднее значение мощности равно нулю, т.е. рассеивание мощности или потери отсутствуют. Энергия электрического поля в конденсаторе равна:

График WC (t) приведен на рис. 2.6д. Максимальная энергия электрического поля равна:

WC max CuC2

2.7.3. Напряжение на емкости в комплексной форме.

Здесь jxC - емкостное сопротивление в комплексной форме.

37

j

Оператор e 2 отражает интегрирование тока в формуле напряжения на емкости.

2.8. Последовательное соединение элементов r,

L, C.

Рис.2.7

Для схемы рис. 2.7. уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений запишем в виде:

Вектор тока и векторная диаграмма напряжений приведены на рис. 2.8. Векторы напряжений на активном и реактивном элементах ортогональны, а векторы напряжений на L и C смещены на .

38

x

UmL

Umr Im

y

UmC

Um

Рис.2.8

Здесь

Z r j(xL xC ) Ze j - комплексное сопротивление,

Z r 2 (xL xC )2 - модуль комплексного сопротивления

arctg xL xC - фаза комплексного сопротивления.

r

На комплексной плоскости сопротивления r, jxL , jxC , Z - образуют треугольник сопротивления, рис. 2.10.

jIm

jxL

r

Если сопротивления умножить на I , получим диаграмму напряжений, рис.

2.9.

39

Сравнивания уравнения (8) и (9), отметим, что дифференциальные уравнения

(8) после замены мгновенных значений их комплексными символами переводится в уравнение алгебраическое (9). Это одно из преимуществ комплексного метода расчета.

Введение понятия комплексного сопротивления, позволяет написать закон Ома для всей цепи в комплексной форме U I Z или для модулей

комплексов U IZ

Таким образом, для целей переменного тока можно составлять уравнения, по структуре сходной с уравнениями для цепей постоянного тока.

2.9 Параллельные соединения элементов r, L, C.

Для схемы рис. 2.11. составим уравнение по первому закону Кирхгофа для мгновенных значений:

Если u(t) Um sin t , то

40