1 семестр / Лекція 2

Лекція 2 «КІНЕМАТИКА МАШИН І МЕХАНІЗМІВ»

Кінематичне дослідження механізмів полягає у визначенні кінематичних параметрів точок і ланок механізму без урахування сил, що обумовлюють їх рух. До кінематичних параметрів відносять лінійні швидкості й прискорення точок (кінематичних пар, центрів мас ланок та інші) і кутові швидкості й при-

скорення ланок механізму. Розрізняють кінематичний синтез і кінематичний аналіз механізмів. Кінематичний синтез полягає в тому, що по заданим кінематичним параметрам підбирають необхідну схему механізму. При проведенні кінематичного аналізу за відомим законом руху вхідної ланки визначають кінематичні параметри всіх інших точок і ланок механізму.

2.1 Задачі й методи кінематичного аналізу механізмів

При проведенні кінематичного аналізу механізму необхідно послідовно вирішувати наступні задачі:

а) визначення положень усіх ланок механізму; б) визначення лінійних швидкостей точок і кутових швидкостей ланок;

в) визначення лінійних прискорень точок і кутових прискорень ланок.

Для розв'язання перерахованих задач найбільше часто використовують три основні методи кінематичного аналізу.

1.Аналітичний метод – полягає в тому, що одержують математичну функцію, яка зв'язує між собою переміщення вхідної й вихідної ланок механізму або їх точок. Функції, що визначають величину швидкостей і прискорень, одержують відповідно як першу й другу похідні функції переміщень за часом. Цей метод має найбільш високу точність визначення кінематичних параметрів механізму, однак він реалізується тільки для найпростіших механізмів. Це пояснюється тим, що для складних механізмів отримання згаданої функції переміщень або являє собою складне математичне завдання, або взагалі неможливе.

2.Графічний метод - полягає в тому, що функцію, яка зв'язує між собою переміщення вхідної й вихідної ланок механізму, отримують у графічному вигляді, тобто безпосереднім виміром переміщень вхідної й вихідної ланок. Функції, що визначають величину швидкостей і прискорень, отримують методом графічного диференціювання. Метод може бути реалізований для механізмів будь-якої складності й дозволяє визначати значення невідомих кінематичних параметрів при будь-якому, довільному положенні вхідної ланки механізму. Його недоліками є низька точність, яка пов'язана з великою кількістю графічних побудов і необхідність отримання графічної функції для кожної з точок механізму, які розглядаються.

3.Графоаналітичний метод (метод планів) – у зв'язку зі своєю уні-

версальністю й досить високою точністю знайшов широке практичне застосування. Він дозволяє визначати кінематичні параметри всіх точок і ланок механізму при фіксованому положенні вхідної ланки. Основним недоліком методу є

3

те, що кінематичні параметри визначаються тільки для одного положення вхідної ланки механізму. Розберемо докладно розв'язання задач кінематичного аналізу графоаналітичним методом.

2.2. Графоаналітичний метод кінематичного аналізу (метод планів)

Метод полягає в послідовному розв'язанні задач кінематичного аналізу шляхом побудови планів положень, швидкостей і прискорень. У якості вихідних даних для реалізації методу повинні бути задані:

а) розміри всіх ланок механізму; б) закон руху вхідної ланки;

в) фіксоване положення вхідної ланки.

2.2.1. Побудова плану положень (визначення положень усіх ланок механізму)

План положень механізму – це графічне зображення в масштабі l взаємного розташування ланок, при відповідному положенні вхідної ланки. Масштабом називають відношення дійсного значення фізичної величини до довжини відрізка в міліметрах на плані, який зображує цю величину.

Рекомендується будувати план положень в одному зі стандартних масш-

табів:

l =0,001 ммм (М1:1); l =0,002 ммм (М1:2); l =0,0025 ммм (М1:2,5) та інші.

Для механізму, наданого на рис. 1.2, розглянемо побудову плану положень способом зарубок. Нехай будуть відомі:

–розміри ланок lAB, lBC, lCD, lEF ;

–положення пар A і D, які утворені зі стійкою – відстань lAD;

–положення точки Е – відстань lDЕ = 0,55∙lCD;

–положення напрямної поступального руху ланки 5 – відстань x (див. рис. 2.1).

Для побудови плану положень механізму всі його геометричні параметри повинні бути надані в метрах. Задаємось одним з пропонованих вище масштабів l. Обчислюємо для плану положень відрізки, що визначають розміри ла-

нок, розташування пар A, D і напрямної руху ланки 5: АВ = lAB l ; ВC = lBC l;

CD = lCD l ; DE = lDE l ; EF = lEF l ; АD = lАD l ; xпл = x l. Ці формули дозво-

ляють одержати розміри відрізків АВ, ВC, …, xпл у міліметрах.

Спочатку відзначимо положення пар, які утворені зі стійкою (A і D) і положення напрямної поступального руху ланки 5 (рис. 2.1). Тому що ланки 1 і 3 виконують обертові рухи, то з точок А і D проводимо тонкими лініями окружності радіусами АВ і DС відповідно. По цим окружностям або їх частинам рухаються точки В і С.

4

5

Зобразимо положення вхідної ланки 1, при заданому значенні його кута повороту 1 = 90 і визначимо положення пари В, відклавши під заданим кутом

1 відрізок АВ в обраному масштабі l (зміна значення 1 приводить до зміни всіх кінематичних параметрів механізму, тому план положень необхідно будувати тільки для заданого значення кута 1).

Потім із точки В проводимо дугу радіусом ВС до перетинання з окружністю радіусом DС і визначаємо положення точки С. З'єднуючи пару С з парами В і D, визначаємо положення ланок 2 і 3. Для визначення положення пари Е відкладаємо від точки D на ланці DС відрізок DE. З точки Е радіусом EF проводимо дугу до перетинання з напрямною поступального руху ланки 5 і тим самим визначаємо положення пари F. З'єднуючи пари Е и F, визначаємо положення ланки 4. Приєднуємо до пари F ланку 5, одержуємо положення пари F , тому що пари F і F на рисунку співпадають.

Таким чином, побудований план положень механізму в обраному масштабі l способом зарубок буде у подальшому використовуватися для визначення кінематичних параметрів механізму.

2.2.2. Побудова плану швидкостей (визначення лінійних швидкостей точок і кутових швидкостей ланок

механізму)

Побудова плану швидкостей дозволяє визначити абсолютні й відносні лінійні швидкості всіх точок механізму й кутові швидкості його ланок.

Метод планів швидкостей заснований на послідовному складанні й графоаналітичному розв'язку систем векторних рівнянь для структурних груп механізму в послідовності згідно з формулою його структурної побудови. Роз- в'язок цієї задачі завжди необхідно починати зі структурної групи, яка приєднана до вхідної ланки, тому що розміри й кутова швидкість обертання останньої відомі.

Спочатку розглянемо деякі теоретичні положення кінематики ланок. Будь-який рух ланки плоского механізму можна вважати плоскопаралель-

ним, при якому необхідно розглядати рух в основній і рухомій системах відліку (системах координат). При цьому точки ланок можуть здійснювати абсолютний, відносний або переносний рух стосовно різних систем відліку.

Основна система відліку в механізмі зв'язана зі стійкою (нерухомою ланкою). Рух точки або ланки стосовно основної системи відліку є абсолют-

ним.

Рухома система відліку в механізмі пов'язана з однією з рухомих ланок й розташовується в одній з пар, тобто вона увесь час переміщується стосовно основної системи відліку. Рух точки або ланки стосовно рухомої системи відліку є відносним.

Рух рухомої системи відліку стосовно основної системи відліку є перено-

сним рухом.

6

Як відомо, плоскопаралельний рух є складним, тому що складається з поступального (переносний) і обертового руху (відносний рух). У такому випадку абсолютна швидкість точки ланки дорівнює геометричній сумі векторів переносної й відносної швидкостей (теорема Ейлера)

Нехай ланка 2 здійснює плоскопаралельний рух (рис. 2.2) і швидкість точки В буде відома, тоді абсолютна швидкість точки С дорівнює геометричній

сумі переносної швидкості ланки 2 (при плоскому русі переносний рух є посту-

пальним, а отже, швидкість ланки 2 дорівнює абсолютній швидкості VВ точ-

ки В) і відносної швидкості VСВ пари С відносно пари В (у відносному русі пара

С стосовно пари В здійснює обертовий рух).

Таким чином, вектори абсолютної швидкості завжди мають тільки один індекс, який указує точку прикладення вектора. Вектори відносної швидкості завжди позначаються двома індексами перший, з яких указує точку прикладення вектора, а другий індекс – точку, відносно якої необхідно розглядати рух першої точки.

Тому по формулі (2.1), відповідно теоремі Ейлера, можна записати

VС VВ VСВ .

Таке рівняння зручне вирішувати графоаналітичним методом, тобто побудувати план швидкостей.

Якщо ланка здійснює тільки обертовий рух, то переносний рух ланки відсутній, тому абсолютний рух у цьому випадку збігається з відносним рухом. У цьому випадку абсолютна швидкість точки В (рис. 2.3) спрямована перпендикулярно радіусу обертання АВ убік руху ланки 1. Тоді при обертальному русі

7

VВ 1 l1 ,

де 1 - кутова швидкість обертання ланки 1; l1 – довжина ланки 1.

1

1

А 1

Рис. 2.3

У структурних групах 2-го класу другого – п'ятого видів крім обертальних пар присутні й поступальні пари, які утворені з напрямною поступального руху. У цьому випадку рух у парі уздовж напрямної є відносним.

Ґрунтуючись на цих теоретичних положеннях, розберемо побудову плану швидкостей для плану положень механізму, що наданий на рис. 2.1.

Складемо систему векторних рівнянь для структурної групи, яка складається з ланок 2 і 3 та пар B, C і D, приєднаної до вхідної ланки 1. Для цього необхідно розглянути рух внутрішньої кінематичної пари групи Ассура (швид-

кість якої невідома) щодо зовнішніх кінематичних пар (швидкості яких відомі або можуть бути визначені), тобто розглянемо рух точки C відносно точок B і D та запишемо систему векторних рівнянь

Побудова плану швидкостей полягає в графічному розв'язку отриманої системи векторних рівнянь, для цього послідовно просумуємо усі вектора, що входять у дану систему.

Для того щоб почати побудову плану швидкостей необхідно визначити величину й напрямок хоча б одного з векторів. Кінематична пара А утворена рухомою ланкою 1 і нерухомої стійкою 0, тому швидкість цієї точки VА = 0

(у парі А розташовується основна система відліку). Тому що точка В здійснює обертовий рух, її швидкість обчислюється за формулою

VВ 1 lAB .

8

Цей вектор спрямований перпендикулярно ланці АВ убік її обертання. Почнемо будувати план швидкостей (рис. 2.1). Для цього вибираємо на

аркуші точку PV, яку називають полюс плану швидкостей. У полюсі розташовуються всі кінематичні пари, абсолютні швидкості яких дорівнюють нулю й з

полюса починаються всі вектора абсолютних швидкостей точок. Відкладаємо з

полюсу паралельно вектору VВ відрізок PVb довільної довжини. На плані

швидкостей усі точки позначаються відповідними маленькими буквами. Відк-

ладений перший вектор VВ на плані швидкостей дозволяє обчислити масштаб плану швидкостей за формулою

Наступний вектор у системі рівнянь (2.2) відносної швидкості VCВ – спрямований перпендикулярно ланці BC (пара C здійснює обертовий рух відно-

сно пари B). Цей вектор на плані швидкостей, відповідно до правила складання

векторів, необхідно відкласти з кінця вектора VВ , але у зв'язку з тим, що на-

прямок VCВ невідомий, проведемо лінію дії цього вектора через точку b, яка є

кінцем вектора VВ (рис. 2.1).

Після розгляду першого рівняння системи (2.2), переходимо до розгляду другого. Точка D на плані положень нерухома, отже, VD = 0, тобто в парі D роз-

ташовується основна система відліку. На плані швидкостей точка d розташову-

ється в полюсі PV. Вектор VCD - спрямований перпендикулярно ланці CD (пара

C здійснює обертовий рух відносно пари D) і його лінію дії на плані швидкостей

проведемо через точку d (полюс PV) до перетинання з лінією дії вектора VCВ . Точка перетинання ліній дії визначить положення на плані швидкостей цієї то-

чки, для якої складалася система векторних рівнянь, у цьому випадку точки С.

Вектор абсолютної швидкості VC буде розташовуватися на плані між полюсом PV і точкою c та спрямований до точки c відповідно до правила складання век-

торів. Вектора відносних швидкостей на плані завжди розташовуються між від-

повідними буквами, тобто вектор VCВ буде розташований між буквами c і b.

Напрямок цих векторів можна визначати відповідно до правила складання векторів, однак при цьому вектора відносної швидкості завжди будуть спрямовані

протилежно написанню індексів при позначенні відповідного вектора, тобто

вектор VCВ буде спрямований від точки b до точки c. Для визначення величин

швидкостей необхідно виміряти на плані швидкостей відповідні довжини векторів і помножити їх на масштаб плану швидкостей.

Тоді невідомі швидкості системи рівнянь (2.2) обчислюються за форму-

лами:

9

VC VCD PV c V ;

VCB bc V ,

де PV c й bc – відповідні довжини відрізків на плані швидкостей у міліме-

трах.

Розглянемо наступну структурну групу, що складається з ланок 4, 5 та пар E, F, F . Ланка 4 здійснює плоскопаралельний рух, тому по теоремі Ейлера

Положення точки е визначимо на плані швидкостей механізму за допомо-

гою теореми подоби: «Для однієї ланки співвідношення відповідних відрізків на планах положень, планах швидкостей і планах прискорень постійні, тобто відповідні відрізки геометрично подібні». Теорема подоби передбачає, що послі-

довність написання букв на планах положень, планах швидкостей і планах прискорень залишається незмінною.

З подоби відповідних відрізків на планах положень й швидкостей механізму маємо

CDED cded , звідси ed CDED cd .

Відзначаємо положення точки e на плані швидкостей (рис. 2.1). З'єднавши прямою лінією точку e з полюсом PV, одержуємо вектор швидкості точки E, величину якого обчислимо за формулою

VЕ PV е V ,

Переносна швидкість VF 0 , тому що напрямна руху ланки 5 не пере-

міщується, тобто в парі F (довільна точка на напрямної поступального руху)

розташовується основна система відліку.

Відносна швидкість VFF спрямовано уздовж напрямної руху ланки 5

(пара F здійснює відносно пари F поступальний рух).

Система векторних рівнянь для другої структурної групи має вигляд

10

Спільно вирішуємо цю систему рівнянь і будуємо план швидкостей для другої структурної групи (рис. 2.1). Для цього через точку e (на плані швидкос-

тей) проводимо по напрямку VFE пряму лінію. Потім через точку f , розташо-

вану в полюсі PV, також проводимо пряму лінію по напрямку швидкості VFF .

Перетинання цих прямих визначає положення точки f на плані швидкостей. Тоді невідомі швидкості системи рівнянь (2.3) обчислюються за форму-

лами:

VF VFF PV f V ;

VFE ef V ,

де PV f й ef – відповідні довжини відрізків на плані швидкостей у міліме-

трах.

Напрямок векторів швидкостей визначається згідно з векторними рівняннями відповідно до правила складання векторів.

Для визначення величин і напрямків кутових швидкостей ланок скористаємося планом швидкостей. Тому що обертання ланок 2, 3 і 4 відбувається тільки у відносному русі, який характеризується відносною швидкістю, то кутові швидкості цих ланок відповідно рівні

Для визначення напрямку кутової швидкості ланки 2 необхідно уявити

собі, що вектор відносної швидкості VCВ діє в точці його прикладення на плані

положень (точка С) (рис. 2.1) і подивитися, у якому напрямку цей вектор буде обертати ланку 2 відносно пари В. Тоді напрямок цього обертання буде збігатися з напрямком 2.

Для визначення напрямку кутових швидкостей 3 і 4 діють аналогічно. Напрямки кутових швидкостей позначають на плані положень з урахуванням розташування центрів обертання ланок (рис. 2.1).

Напрямки лінійних швидкостей ланок, що здійснюють поступальний рух, визначають по напряму вектора швидкості довільної точки відповідної ланки, яка здійснює поступальний рух. У нашому випадку поступальний рух здійснює тільки ланка 5, якій належить точка F. Вектор швидкості точки F спрямований вправо, тому ланка 5 рухається вправо уздовж своєї напрямної.

2.2.3. Побудова плану прискорень

11

(визначення лінійних прискорень точок і кутових прискорень ланок механізму)

Ця задача вирішується методом побудови плану прискорень. План прискорень дозволяє визначити абсолютні й відносні лінійні прискорення всіх точок механізму й кутові прискорення його ланок.

Для побудови плану прискорень досить знати швидкості всіх точок механізму й кутові швидкості ланок механізму ( тобто попередньо повинен бути побудований план швидкостей).

Спочатку розглянемо деякі теоретичні положення кінематики ланок. Якщо ланка здійснює нерівномірний обертовий рух, то абсолютне прискорення

ється згідно теореми Ейлера: абсолютне прискорення точки С можна предста-

вити у вигляді геометричної суми двох прискорень – прискорення aB в посту-

Якщо переносний рух точки С не поступальний, а обертовий з кутовою швидкістю пер , а відносний рух поступальний з відносною швидкістю Vвід , то

абсолютне прискорення точки С дорівнює векторній сумі трьох прискорень:

k

прямної поступальний руху й прискорення Коріоліса aСB (воно виникає в тому випадку, коли напрямна поступального руху обертається з кутовою швидкіс-

тю пер ), тоді