Конспект_лекций_по_дисциплине

Конспект лекций по дисциплине

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Разарботала ст. препод. Кафедры САЛ

Поддубная Н.Н.

1 ВВЕДЕНИЕ. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1.Предмет теории вероятности.

2.Случайные события и их классификация.

3.Пространство элементарных исходов.

4.Определение вероятности: классическое, статистическое и геометрическое.

1.Предмет теории вероятности

«В мире царствует вездесущая случайность − весомая, как сама судьба».

Конфуций(551-479 до н .э.) − кит. философ

Всё постоянство − в зыбкости одной, Всё смутно пред глазами очевидца, Я сложность вижу в истине простой:

Всем в мире правит Случай, не Закон. Франсуа Вийон (1431-1463) − фр. поэт и вор

Вэтих высказываниях звучит одна и та же мысль о том, насколько велика в нашем мире роль случая, или случайности.

Что же под этим понимается?

Давно было замечено, что человеку в своей практической деятельности часто приходится сталкиваться с такими событиями реального мира, исход которых заранее (т.е. до того, как всё свершится) не может быть точно предсказан. Простыми и наглядными примерами таких событий являются: результат бросания монеты или игральной кости, попадание или промах при стрельбе по мишени, доступность или занятость набираемого нами номера телефона, исправность или дефектность покупаемого в магазине прибора, результат розыгрыша лотереи и т.д., и т.д.

События такого рода и называют случайными. Роль случая в нашей жизни чрезвычайно велика, недаром его называют «ЕГО ВЕЛИЧЕСТВО СЛУЧАЙ».

Вобыденной жизни мы часто используем слова «случайно», «невероятно», «наверняка», «независимо», вкладывая в них некий «естественный» смысл, отражающий интуитивно понимаемое нами свойство неопределенности, неуверенности (либо, наоборот, уверенности) в исходе того или иного события или явления.

Вто же время имеется область математики, которая также оперирует такими же и им подобными терминами, но в ней эти термины приобретают уже точный математический смысл.

Для построения математической модели реального явления во многих случаях достаточно учитывать только основные факторы, закономерности, которые позволяют предвидеть результат опыта (наблюдения, эксперимента) по его заданным начальным условиям. Этим и занимаются большинство натематических (и других) дисциплин. Обнаруженные закономерности явления

называются детерминистическими (определенными). Так, например, формула

позволяет найти путь, пройденный свободно падающим телом за t секунд от начала движения.

Однако есть множество задач, для решения которых приходится (надо!) учитывать и случайные факторы, которые предают исходу опыта элемент неопределенности. Например,

•Сколько лет проживет родившийся сёгодня ребенок?

•Сколько времени проработает купленный нами телевизор?

•Сколько студентов опоздает на лекцию по теории вероятностей? И т. д.

Такие задачи, исход которых нельзя предсказать с полной уверенностью,

требуют изучения не только основных, главных закономерностей, определяющих явление в общих чертах, но и случайных, второстепенных факторов. Выявленные в таких задачах (опытах) закономерности называются статистическими (или вероятностными). Статистические закономерности исследуются методами специальных математических дисциплин — теории вероятностей и математической статистики.

Теория вероятностей — математическая наука, изучающая закономерности, присущие массовым случайным явлениям. При этом изучаемые явления рассматриваются в абстрактной форме, независимо от их конкретной природы. То есть теория вероятностей рассматривает не сами реальные явления, а их упрощенные схемы — математические модели.

Предметом теории вероятностей является мат. модели случайных явлений. Под случайным явлением понимают явление, предсказать исход которого невозможно (т.е. при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта оно протекает каждый раз несколько по-иному).

Цель теории вероятностей - осуществление прогноза в области случайных явлений, влияние на ход этих явлений, контроль их. В настоящее время нет не одной области науки, в которой в той или иной степени не применялись бы вероятностные методы.

Первые работы по теории вероятности появились в XVI – XVII Ии. Они принадлежат Д. Кардано, Б. Паскалю, П. Ферма и др. и представляли попытки создания теории азартных игр с целью дать рекомендации игрокам. Следующий этап развития науки связан с именем Я. Бернулли (XVII – XVIII вв.), который доказал теорему, теоретически обосновавшую накопленные ранее факты и названную в дальнейшем «законом больших чисел».

Дальнейшее развитие теории вероятности приходится на XVII – XIX вв. благодаря работам А.Муавра, П. Лапласа, К. Гаусса, С. Пуассон и др. Весьма плодотворный период развития «математики случайного» связан с именами русских математиков П.Л. Чебышева, А.М. Ляпунова, А.А, Маркова (XIX – начало XX века). Большой вклад в развитие теории вероятности внесли советские математики С.Н, Бернштейн, В.И, Романовский, А.Н, Гнеденко, А. Н. Колмогоров и др., а также ученые англо-американской школы Стьюдент (псевдоним В. Госсета), Р, Фишер, Э. Пирсон, А. Вальд и др.

Широкому внедрению математико-статистических методов исследования способствовало появление во второй половине XX в. электронных вычислительных машин и, в частности, персональных компьютеров. Статистические программные пакеты сделали эти методы более доступными и наглядными, так как трудоемкую работу по расчету различных статистик, параметров, характеристик, построению таблиц и графиков в основном стал выполнять компьютер, а исследователю осталась главным образом творческая работа: постановка задачи, выбор методов ее решения и интерпретация результатов.

В настоящее время основы ТВ изучаются во всех ВУЗах и на всех специальностях, включая и гуманитарные, и современного специалиста, в какой бы области он ни работал, уже невозможно себе представить без соответствующей вероятностной подготовки. Вот как образно писал о пользе изучения ТВ замечательный венгерский математик и педагог Альфред Реньи

(1921-1969):

«Изучение теории вероятностей благоприятно сказывается на характере учащихся, например, развивает смелость, поскольку позволяет понять, что при определенных обстоятельствах неудачи можно просто отнести к случайностям и, следовательно, потерпев неудачу, отнюдь не следует отказываться от борьбы за достижение намеченной цели..."

2. Случайные события, основные понятия и определения.

Каждая наука, развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется.

Такие основные понятия существуют и в теории вероятностей. В качестве первого из них введем понятие события.

Под «событием» в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Приведем несколько примеров событий:

А – появление герба при бросании монеты; В – появление трех гербов при трехкратном бросании монеты; С – попадание в цель при выстреле;

D–появление туза при вынимании карты из колоды.

Рассматривая вышеперечисленные события, мы видим, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности: одни – большей, другие – меньшей, причем для некоторых из этих событий мы сразу же можем решить, какое из них более, а какое менее возможно.

Например, сразу видно, что событие А более возможно, чем В и D. Каждое из таких событий обладает той или иной степенью возможности.

Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, очевидно, нужно с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие.

Такое число называется вероятностью события. Вероятность события есть численная мера степени объективной возможности этого события.

Заметим, что уже при самом введении понятия вероятности события мы связываем с этим понятием определенный практический смысл, а именно: на основании опыта мы считаем более вероятными те события, которые происходят чаще; менее вероятными – те события, которые происходят реже; мало вероятными–те, которые почти никогда не происходят. Таким образом, понятие вероятности события в самой своей основе связано с опытным, практическим понятием частоты события.

Сравнивая между собой различные события по степени их возможности, установим единицу измерения. В качестве такой единицы измерения естественно принять вероятность достоверного события, т.е. такого события, которое в результате опыта непременно должно произойти.

Пример достоверного события – выпадение не более 6 очков при бросании одной игральной кости. Если приписать достоверному событию вероятность, равную единице, то все другие события – возможные, но не достоверные – будут характеризоваться вероятностями, меньшими единицы, составляющими какую-то долю единицы.

Противоположностью по отношению к достоверному событию является невозможное событие, т.е. такое событие, которое в данном опыте не может произойти.

Пример невозможного события – появление 12 очков при бросании одной игральной кости. Естественно приписать невозможному событию вероятность, равную нулю.

Таким образом, установлены единица измерения вероятностей – вероятность достоверного события – и диапазон изменения вероятностей любых событий – числа от 0 до 1.

Существует целый класс опытов, для которых вероятности их возможных исходов легко оценить непосредственно из условий самого опыта. Для этого нужно, чтобы различные исходы опыта обладали симметрией и в силу этого были объективно одинаково возможными.

Рассмотрим, например, опыт, состоящий в бросании игральной кости, т.е. симметричного кубика, на гранях которого нанесено различное число очков: от 1 до 6. В силу симметрии кубика есть основания считать все шесть возможных исходов опыта одинаково возможными. Именно это дает нам право предполагать, что при многократном бросании кости все шесть граней будут выпадать примерно одинаково часто.

Это предположение для правильно выполненной кости действительно оправдывается на опыте; при многократном бросании кости каждая ее грань появляется примерно в одной шестой доле всех случаев бросания, причем отклонение этой доли от 1/6 тем меньше, чем большее число опытов произведено. Имея в виду, что вероятность достоверного события принята равной единице, естественно приписать выпадению каждой отдельной грани вероятность, равную 1/6.

Это число характеризует некоторые объективные свойства данного случайного явления, а именно свойство симметрии шести возможных исходов опыта. Для всякого опыта, в котором возможные исходы симметричны и

вероятности, важно насколько часто наступает данное событие в произведенных испытаниях. В этом случае используется статистическое определение вероятности.

Статистической вероятностью события А называется относительная частота появления этого события в произведенных испытаниях, т. е.

.

где - статистическая вероятность события А w(A) - относительная частота наступления события А m - число испытаний, в которых появилось событие А n - общее число испытаний.

В отличие от классического определения вероятности, статистическое определение является опытной, экспериментальной характеристикой. Но применить статистическое определение можно не к любым событиям, а

обладающим определенными свойствами:

1) Рассматриваемые события должны быть исходами только тех испытаний, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий.

Так, например, бессмысленно ставить вопрос об определении вероятностей возникновения войн, появления гениальных произведений искусства и т.п., так как речь идет о неповторимых в одинаковых условиях испытаниях, уникальных событиях.

Или, например, не имеет смысла говорить о том, что данный студент сдаст семестровый экзамен по теории вероятностей, поскольку речь здесь идет о единичном испытании, повторить которое в тех же условиях нет возможности.

И хотя приведенные в примерах события с неопределенным исходом относятся к категории «может произойти, а может и не произойти», такими событиями теория вероятностей не занимается.

2) События должны обладать так называемой статистической устойчивостью, или устойчивостью относительных частот.

Это означает, что в различных сериях испытаний относительная частота (частость) события изменяется незначительно (тем меньше, чем больше число испытаний), колеблясь около постоянного числа. Факт приближения относительной частоты, или частости, события к его вероятности при увеличении числа испытаний, сводящихся к схеме случаев, подтверждается многочисленными массовыми эксперимёнтами,

проводимыми разными лицами со времен возникновения теории вероятностей.

3) Число испытаний, в результате которых появляется событие А, должно быть достаточно велико, ибо только в этом случае можно считать вероятность события Р(А) приближенно равной ее относительной частоте.

Пример 1. При проверке готовой продукции было выявлено 5 бракованных единиц товара из 200 проверенных. Найти относительную частоту бракованных единиц товара.

Решение. Пусть событие A состоит в том, что выявлена бракованная единица товара. Тогда относительная частота события A

P( A) = mn = 2005 = 0, 025

Пример 2. При стрельбе по мишени было выявлено, что относительная частота попаданий равняется 0,85. Проведено 100 выстрелов. Сколько выстрелов были точны?

Решение. Пусть событие A состоит в том, что выстрел был точным. Тогда по формуле для относительной частоты события A получаем, что количество точных выстрелов

m = n·W(A) = 100·0,85 = 85.

5 Геометрическое определение вероятности

И, наконец, еще одним недостатком классического определения вероятности является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов испытания. Оказывается, иногда этот недостаток можно преодолеть, используя геометрическое определение вероятности, т.е. находя вероятность попадания точки в некоторую область .

Пусть фигура g является частью некоторой фигуры G. Пусть нужно найти вероятность попадания брошенной точки в область g.

Обозначим mes меру области ( длину, площадь, объем), тогда:

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области, т.е.

.