Лекция 6 Проблема построения исходного опорного плана

6

Мат.программирование_2 курс 10-11-12уч.год Лекция 11-12

Лекция 6. Проблема построения исходного опорного плана. Метод искусственного базиса (М-метод)

До сих пор рассматривались задачи ЛП, ограничения которых заданы неравенствами вида ≤ и правые части ограничений были неотрицательные.

АХ ≤ В (В>0)

В таких задачах начало координат является одной из вершин ОДР и после приведения задачи к каноническому виду система ограничений всегда содержит необходимые m единичных векторов, которые могут быть приняты за базис, и тем самым будет определен исходный опорный план. Опираясь на этот исходный опорный план, дальше с помощью симплекс-метода находим оптимальный план задачи.

Если среди ограничений задачи есть равенства или неравенства вида ≥ , то ограничения задачи после приведения их к каноническому виду не содержат m единичных векторов. В этом случае возникает проблема построения исходного опорного плана, для решения которой применяется метод искусственного базиса. Он заключается в переходе от исходной задачи к расширенной задаче (или М-задаче) оптимальные планы которых, связаны между собой.

Рассмотрим задачу ЛП на max, записанную . в канонической форме:

−max

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

,

Система ограничений (1) не содержит единичных векторов для построения базиса. Для их получения к левой части каждого уравнения прибавим по одной новой переменной , которые назовем искусственными и рассмотрим расширенную задачу (М-задачу)

−max

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

,

Здесь полагаем, что М− очень большое по абсолютной величине число (по сравнению с остальными ). Значение М не задается. Очевидно, что при значении М на несколько порядков большем, чем значение с_j , искусственные переменные не могут принять положительное значение (т.е. быть базисными переменными) в оптимальном плане расширенной задачи, так как это резко уменьшает значение ЦФ задачи на максимум.

Векторы А_n+1, А_n+2, …, А_n+m соответствующие искусственным переменным, называются искусственными. Они единичные и могут быть приняты за базис (искусственный базис). При этом будет получен исходный опорный план расширенной задачи

Х=(х₁=0, х₂=0, …, х_n=0, х_n+1=b₁ ,…, х_n+2=b₂ , х_n+m=b_m)

Опорный план расширенной задачи не является опорным планом для исходной задачи. К решению расширенной задачи применим симплекс-метод. Следующая теорема устанавливает связь между оптимальными планами расширенной и исходной задач.

ТЕОРЕМА 1

Если в оптимальном плане расширенной задачи искусственные переменные х_n+i = 0 (i=1,m), то план Х=(х₁,х₂, …, х_n) является оптимальным для исходной задачи.

Отметим, что если является допустимым планом расширенной задачи, то − допустимый план исходной задачи, причем значения ЦФ для этих планов равны. Т.е. .

Докажем, что план Х является оптимальным для исходной задачи.

Доказательство:

Допустим, что Х не является оптимальным планом. Тогда существует такой план , для которого .

Очевидно, что является допустимым планом расширенной задачи, причем

Т.е. , а это проворечит условию теоремы о том, что − оптимальный план расширенной задачи. Следовательно, наше предложение было неверным и − оптимальный план задачи.

ТЕОРЕМА 2

Если в оптимальном плане расширенной задачи хотя бы одна искусственная переменная принимает положительное значение, то исходная задача недопустима.

Для отыскания оптимального плана расширенной задачи применяется симплекс-метод, причем симплексные таблицы имеют на одну строку больше, чем обычная симплексная таблица. Так как оценки Z_j−c_j будут состоять из двух частей, одна из которых зависит от М, а другая −нет. Для удобства свободный член ( часть, которая не зависит от М), записывают в (m+1)-ю строку, а коэффициент при М − в (m+2)-ю строку .

Знаки оценок Z_j−c_j будут определяться знаками при М. Поэтому ведущий столбец при улучшении опорного плана расширенной задачи выбирается по (m+2)-ой строке. Итерационный процесс ведется по (m+2)-ой строке до тех пор, пока из базиса не будут исключены все искусственные векторы, т.е. пока не будет получен опорный план исходной задачи. Искусственные векторы, исключенные из базиса, в основной блок не записывают. После исключения из базиса всех искусственных векторов, надобность в (m+2)-ой строке отпадает, ее отбрасываают, и процесс улучшения опорного плана исходной задачи ведется по (m+1)-ой строке.

Если в процессе решения из базиса невозможно исключить хотя бы один искусственный вектор, то исходная задача не имеет решения (недопустима).

Примечание. Если ограничения исходной задачи содержат единичные векторы, то их следует учесть при составлении базиса расширенной задачи.

Рассмотрим случай, когда задача задана в виде

Z=CX− min

AX≥B (B>0); X>0 (3)

Дополнительные переменные входят в ограничения с коэффициентами «−1»:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4)

,

Здесь для получения m единичных векторов тоже используется метод искусственного базиса. В каждое ограничение, кроме дополнительной переменной, вводится еще искусственная переменная , которая в ЦФ входит с коэффициентом +М:

−min

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

,

Искусственные векторы А_n+m+1, А_n+m+2 , …, А_n+2m принимаются за базис исходного плана расширенной задачи, для решения которой применяют симплекс-метод, как и в предыдущем случае. Трудоемкость вычислений в симплекс-методе зависит от числа ограничений, а не переменных. Число итераций примерно составляет (1,5-2,0)* m.

ПРИМЕР.

(см. рукописный вариант)

Рекомендации и правила контроля вычислений в симплексных таблицах

1. При решении задачи на max выбор вектора, вводимого в базис, производится среди отрицательных оценок. Из нескольких отрицательных оценок, выбирается наибольшая по модулю оценка.

Если имеется несколько одинаковых максимальных по модулю отрицательных оценок, то из соответствующих им векторов в базис, прежде всего, включается вектор, соответствующий максимальному из чисел С_j . (max С_j )

2. При решении задачи на min выбор вектора, вводимого в базис, производится среди положительных оценок. Из нескольких положительных оценок, выбирается наибольшая по модулю оценка.

Если имеется несколько одинаковых максимальных по модулю положительных оценок, то из соответствующих им векторов в базис, прежде всего, включается вектор, соответствующий минимальному из чисел С_j (min С_j )

3. Алгоритм симплекс-метода построен таким образом, что в 4-ом столбце (значения базисных переменных) никогда не может появится отрицательное значение.

4. Рекомендуется значения оценок и значения целевой функции Z рассчитывать двумя способами:

• По формуле

Z_j−c_j =

где G –множество векторов входящих в базис

• По правилу «прямоугольника»

5. Значение ЦФ от итерации к итерации должно улучшаться, во всяком случае не ухудшаться.

Важные признаки в симплек-методе (по симплексной таблице)

1. Признак опорности плана исходной задачи: отсутствие в базисе искусственных векторов и, как следствие, отсутствие (m+2) строки.

2. Признак неразрешимости исходной задачи: в выбранном ведущем столбце нет ни одного положительного элемента.

3. Признак недопустимости исходной задачи. В оптимальном плане расширенной задачи есть хотя бы одна искусственная переменная > 0. Это значит, что в задаче на max в m+2 строке нет отрицательных чисел и получен оптимальный план расширенной задачи. (для задачи на min, в m+2 строке нет положительных чисел)

4. Признак вырождения планов в симплексной таблице. В 4-ом столбце В (значения базисных переменных) есть хотя бы один «0». Такой план наз. вырожденным , и преи переходе от одного опорного плана к другому, значение функции может остаться прежним. Может случиться, что значение функции сохраняется в течение нескольких итераций, а также возможен возврат к первоначальному базису. Говорят «произошло зацикливание».

5. Признак наличия альтернативных оптимальных планов. Если в (m+1) строке для одного или нескольких векторов, НЕ входящих в базис оценки Z_j−c_j =0, то значит имеются альтернативные оптимальные планы. Для получения альтернативного плана, надо вектор, соответствующий нулевой оценке Z_j−c_j =0 ввести в базис.