Лекция 4 Лин Алг_Св-ва з-ч ЛП

5

ИСО-Мат.Прог_2 курс 11-12-13уч.год_Лекция_4-5

Лекция 4-5 Необходимые сведения из линейной алгебры. Свойства решений задачи линейного программирования.

Понятие m–мерного векторного пространства.

Из курса аналитической геометрии известно, что всякий вектор А, расположенный на числовой оси, определяется координатой, т.е. одним действительным числом А=(х). Прямая является одномерным векторным пространством.

Вектор на плоскости с заданной системой координат определяется двумя координатами: А=(х;y), т.е. упорядоченной системой из двух действительных чисел. Плоскость является двумерным векторным пространством.

Вектор А трехмерного пространства определяется тремя координатами,т.е. А=(x;y;z).

В экономике, физике приходится изучать объекты, для задания которых недостаточно трех чисел и требуется система из m действительных чисел. Т.е. целесообразно рассматривать упорядоченную систему из m действительных чисел.

Определение 1. Упорядоченная система из m действительных чисел a₁, a₂,…, a_m наз. m–мерным вектором и обозначается так: А=(a₁; a₂;…; a_m ) Числа a_j (j=1,2,…, m) называются компонентами вектора А.

Векторы условимся обозначать большими буквами латинского алфавита, а компоненты – малыми.

Определение 2. Совокупность всевозможных m –мерных векторов с действительными компонентами, после введения в нее линейных операций сложения и умножения на число наз. m-мерным векторным пространством.

Например. Коэффициенты всякого линейного уравнения с m неизвестными образуют m– мерный вектор;

Всякое решение системы линейных уравнений с n неизвестными является n– мерным вектором.

В матрице из m строк и n столбцов строки являются n– мерными векторами, столбцы – m–мерными векторами.

Векторы А = (a₁; a₂;…; a_m ) и B = (b₁,b₂, …, b_m) равны, если равны их компоненты, стоящие на одинаковых местах. Для векторов А и B определены операции: сумма векторов, разность, произведение вектора на число k .

Роль нуля играет нулевой вектор 0=(0,0,…,0)

Произведением вектора А на число k наз. вектор kА = (ka₁; ka₂;…;ka_m )

Для m– мерного векторного пространства вводится понятие скалярного произведения двух векторов этого пространства.

Скалярным произведением двух векторов А и B называется действительное число, равное сумме произведений соответствующих компонент этих векторов: АB = a₁b₁ + a₂b₂ +…+ a_mb_m.

Линейная зависимость векторов

.

Вектор B m– мерного векторного пространства наз. пропорциональным вектору А, если  такое число  , при котором выполняется соотношение B=А.

В частности нулевой вектор пропорционален любому вектору А, т.к. 0=0*А.

Важным свойством векторного пространства является возможность представления одних векторов в виде линейной комбинацией других.

1. Обобщением понятия пропорциональности векторов является понятие линейной комбинации векторов.

Вектор B наз. линейной комбинацией векторов А₁,А₂, … , А_n , если  такие произвольные числа ₁, ₂, … , _n при которых выполняется соотношение

B = ₁A₁ + ₂A₂ + …+ _nA_n

Т.е. j-ая компонента вектора B при j=1, 2 ,…, m равна сумме произведений j-ых компонент векторов А₁,А₂, … , А_n соответственно на числа ₁, ₂, … , _n . Если _j ≥ 0 и , то комбинация наз. выпуклой.

2. Определение 1. Система векторов А₁,А₂, … , А_n (n≥2) наз. линейно зависимой, если хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией остальных, и линейно независимой – в противном случае.

Например. Векторы A₁=(8;5;11), А₂=(1;2;3), А₃=(3 ;2 ;1), А₄=(3;1;2), явл. линейно зависимыми,т.к. A₁=2A₂ – A₃ + 3A₄ .

Определение 2 . Система векторов А₁, А₂, … , А_n (n≥2) наз. линейно зависимой, если  такие числа ₁, ₂, … , _n не все равные нулю, при которых выполняется соотношение

₁A₁ + ₂A₂ + …+ _nA_n = 0 (1)

Если соотношение (1) возможно лишь в случае, когда все _I =0 (j=1,2, … ,n), то система векторов наз. линейно независимой.

Например. Система векторов А₁=( 2; 4; 3), А₂=(2 ;3 ;1), А₃=(5; 3; 2), А₄=(1; 7; 3) линейно зависима, т.к векторы связаны соотношением

А₁+2А₂–А₃–А₄=0 (2)

в котором все коэффициенты отличны от нуля.

Эти два определения эквивалентны. Для доказательства этого, достаточно соотношение (2) разрешить относительно любого вектора: А₄ =А₁+2А₂–А₃ .

3. m–мерным единичным вектором наз. вектор, имеющий одну компоненту равную 1, а остальные – 0. В₁=(1,0,0, … ,0); В₂ =(0,1,0, …, 0).

4. Система m (кол-во) единичных векторов, размерности m является линейно независимой.

5. В теории исследуется проблема: сколько векторов может содержать линейно-независимая система m–мерных векторов, и существуют ли такие системы с произвольно большим числом векторов.

В теории доказано, что в m–мерном векторном пространстве линейно независимая подсистема, состоящая из m векторов будет максимальной, а также доказано, что

любая максимальная линейно–независимая система векторов m – мерного векторного пространства состоит не более, чем из m векторов. (не может превосходить размерность векторов)

6. Число векторов, входящих в любую максимальную линейно независимую подсистему данной системы векторов, наз. рангом системы.

7. Базисом m–мерного векторного пространства наз. система из m ЛНЗ векторов этого пространства.

8. Теорема

Любой вектор m – мерного векторного пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса, притом единственным образом.

Свойства решений задачи линейного программирования.

Рассмотрим общую задачу ЛП, записанную в векторной форме

Z=CX- max (1’’)

x₁A₁+x₂A₂+ …+x_jA_j+ …+ x_nA_n = B (2’’)

X ≥ 0 (3’’)

План Х=(х₁,х₂, …, х_n) наз. опорным, если система векторов А_j (j=1,…,m), (m < n), входящих в разложение

x₁A₁ + x₂A₂ + …+ x_nA_n =B

с положительными коэффициентами х_j (j=1,2,…m) является ЛНЗ.

Геометрически опорные планы соответствуют вершинам ОДР.

Т.к. векторы A_j являются m– мерными, то из определения опорного плана следует, что число положительных компонент (>0) в опорном плане не может быть больше, чем m (остальные компоненты равны 0).

Опорный план наз. невырожденным (а соответствующая вершина регулярной), если число положительных компонент в опорном плане = m .

Опорный план наз. вырожденным ( а соответствующая ему вершина нерегулярной), если число положительных компонент в опорном плане < m (т.е. некоторые базисные переменные =0 ) .

Теорема1

Множество допустимых планов задачи ЛП явл. выпуклым. (если оно не пусто). Выпуклый см. выше

(1. Обобщением понятия пропорциональности векторов является понятие линейной комбинации векторов.

Вектор B наз. линейной комбинацией векторов А₁,А₂, … , А_n , если  такие произвольные числа ₁, ₂, … , _n при которых выполняется соотношение

B = ₁A₁ + ₂A₂ + …+ _nA_n

Т.е. j-ая компонента вектора B при j=1, 2 ,…, m равна сумме произведений j-ых компонент векторов А₁,А₂, … , А_n соответственно на числа ₁, ₂, … , _n . Если _j ≥ 0 и , то комбинация наз. выпуклой. )

Теорема 2

Если задача ЛП разрешима (т.е. имеет оптимальный план), то ЦФ достигает своего экстремума по крайней мере в одной из вершин ОДР. Если же ЦФ достигает экстремума более, чем в одной вершине, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся выпуклой комбинацией этих вершин.

Теорема 3

Если система векторов А₁, А₂, … , А_k (k ≤ n) в разложении

x₁A₁ + x₂A₂ + … + x_kA_k + …+ x_nA_n =B

линейно-независима и такова, что

x₁A₁ + x₂A₂ + …+ x_kA_k = B

где все x_j ≥ 0 (j=1,k),

то точка Х = (х₁, х₂, … , х_k, 0,0, …, 0) является вершиной (угловой точкой)

многогранника решений.

Здесь Х – n-мерный вектор , последние ( n – k) компонент которого равны нулю.

Теорема 4 (обратная теорема теореме 3)

Если Х = (х₁, х₂, … , х_n,) – вершина многогранника решений, то векторы A_j, соответствующие положительным компонентам x_j в разложении x₁A₁ + x₂A₂ + …+ x_nA_n =B , являются линейно независимыми.

Следствие 1. Т.к. векторы А₁, А₂, … , А_n имеют размерность m, то вершина многогранника решений, имеет не более m положительных компонент x_j ≥ 0 (j=1,2, …, m)

(число положительных компонент у плана, соответствующего вершине многогранника решений (ОДР), не более, чем m. x_j ≥ 0 (j=1,2, …, m).)

Следствие 2. Каждой вершине ОДР соответствует k ≤ m линейно-независимых векторов системы А₁, А₂, … , А_n (k– количество векторов; m–размерность векторов)

Преобразование неравенств в уравнения

Рассмотрим i – тое ограничение общей задачи ЛП с n неизвестными х₁,х₂, …, х_n

Переменные х₁,х₂, …, х_n присутствующие в заданной модели наз. основными.

Преобразуем неравенства к равенствам. Для этого необходимо к его левой части прибавить некоторую неотрицательную величину х_n+1 ≥ 0.

Получим уравнение:

Неотрицательная переменная х_n+1 ≥ 0 , с помощью которой неравенство преобразуется в уравнение наз. дополнительной переменной. Выразим дополнительную переменную через основные

b_i – запас i-го ресурса

( … ) – расход i-го ресурса

x_i+1 – неиспользованный остаток i-го ресурса .

Дополнительные переменные входят в ЦФ с коэффициентом =0.