Лекция 2

Лекция 2

Классификация задач математического программирования.

В математическом программировании по признаку «характер информации»

задачи удобно подразделять на детерминированные и стохастические.

Если вся исходная информация, используемая при построении математической модели заранее известна и достоверна, то методы оптимизации таких задач относятся к детерминированным или методам обоснования решения в условиях определенности.

Среди детерминированных задач выделяют следующие:

• Линейное программирование (ЛП). В зависимости от особенностей структурных ограничений в математической модели задачи ЛП подразделяются на ОБЩУЮ задачу ЛП и СПЕЦИАЛЬНЫЕ задачи (транспортная и обобщенная транспортная задачи);

Если переменные (неизвестные величины) входят в ЦФ и в структурные ограничения в 1-ой степени, то говорят о задаче линейного программирования.

Решить задачу ЛП – это значит найти такие значения переменных, которые удовлетворяют всем ограничениям задачи, а ЦФ достигает искомого экстремума.

Линейное программирование (ЛП) – один из первых и подробно изученных разделов математического программирования. Именно с раздела линейное программирование и начало развиваться математическое программирование.

(Линейное программирование применяется в таких задачах как управление и планирование производства; в задачах определения оптимального размещения оборудования на морских судах, в цехах; в задачах определения оптимального плана перевозок груза (транспортная задача); в задачах оптимального распределения кадров и т.д.)

Термин «линейное программирование» возник в результате неточного перевода с английского «linear programming». Одно из значений слова «programming» – составление планов, планирование. Следовательно, правильным переводом английского «linear programming» было бы не «линейное программирование», а «линейное планирование», что более точно отражает содержание дисциплины.

Первые работы по линейному программированию вышли в Ленинградском Университете. Автором был Канторович Леонид Витальевич (1912-1986).

Родился в 1912г.в Санкт-Петербурге. В 14 лет поступил в Ленинградский университет на математическое отделение и окончив его в 1930г, остается на преподавательской работе. КанторовичЛ.В. занимается исследованиями на кафедре математики, и в 1935г (ему 23 года) ему присваивается ученая степень доктора физико-математических наук.

В 1938 году, Канторович привлекается в качестве консультанта на фанерную фабрику и решает задачу эффективного использования оборудования.

Канторович понял, что решение задачи сводится к максимизации линейной функции многих переменных при наличии ограничений в форме равенств и неравенств.

Так впервые была сформулирована задача производственного планирования, как задача ЛП и разработан метод для ее решения. Результаты его труда были опубликованы в 1939 г. в работе «Математические методы организации и планирования производства». К сожалению в это время эти результаты не были должным образом оценены.

Признание пришло позже. В1975г. академик Канторович Л.В. вместе с американским профессором Тьяллингом . Купмансом (1910-1985) (США) были удостоены Нобелевской премии по экономике «за вклад в теорию оптимального распределения ресурсов».

На Западе отцом-основателем этого направления считают американского математика Джорджа Данцига (1914-2005).

Во время 2-ой Мировой войны Данциг работал в командовании военно-воздушных сил и занимался программированием поставок военной техники. Термин «программирование» был сугубо военным и означал составление планов поставок.

Данциг предложил использовать линейную модель, а в конце 40-х годов изобрел универсальный численный метод решения, который называется Симплексный метод.

Большой вклад в развитие оптимизационных методов внесли: Канторович Л.В., Немчинов В.С., Новожилов В.В. В 1965 г. Они были удостоены Ленинской премии за разработку и внедрение оптимизирующих методов.

Значительный вклад в теорию и методы линейного программирования внесли С. Гасс, А. Таккер, Р. Гомори, Г. Кун, Т. Саати, Г. Вагнер, Д.Б. Юдин, Е.Г. Гольштейн и др.

• Целочисленное программирование (ЦП) – все или часть переменных должны удовлетворять требованию целочисленности;

• Параметрическое программирование (ПП). Матмодели задач могут содержать коэффициенты, которые являются функциями некоторого параметра.

• Нелинейное программирование (НП). В задачах этого класса нелинейные целевая функция и (или) ограничения;

• Динамическое программирование (ДП). Задачи содержат большое число переменных, и параметры ЦФ и ограничений зависят от времени, а поиск решения проводится последовательно по этапам. Методы ДП используют идеи рекуррентного подхода.

Стохастические задачи МП.

Если параметры, входящие в ЦФ или ограничения имеют случайный характер, недостоверные значения или приходится решать задачи в условиях риска без точного знания информации о сложившейся ситуации, то говорят о проблеме стохастической оптимизации, а раздел называется стохастическим программированием.

Задача производственного планирования (или общая Задача ЛП). Различные формы записи ее модели.

Постановка задачи

Предприятие может выпускать n видов продукции: П1, П2 ., Пj ., Пn (наименование) j – поточный индекс виду продукции j= (1; n)

Для производства продукции предприятие имеет в своем распоряжении m видов производственных факторов ( ресурсов) Ф1, Ф2 ., Фi,, Фm (наименование)

ⁱ – поточный индекс производственного фактора ^{(i =1, m)}

Известны запасы каждого производственного фактора b1, b2 ., bi ., bm (единицы)

Известен удельный расход i-го ресурса на выпуск одного изделия j-го вида a_ij.

Предприятие получает доход с_j, денежных единиц за выпуск одного изделия j-го вида.

Составить план выпуска продукции, обеспечивающий получение наибольшего дохода.

В качестве искомых неизвестных (параметров управления) примем:

x_j– количество единиц выпускаемой продукции j-того вида.

Запишем математическую модель задачи в стандартной форме, т.е. между левой и правой частью ограничений есть знак неравенства).

Развернутая (координатная форма записи):

Целевая функция, экономический смысл, которой – максимизировать доход, получаемый от выпуска всей продукции:

(1)

Структурные ограничения – отражают требование не перерасходовать запасы каждого производственного фактора

– – – – – – – – – – – – – – (2)

– – – – – – – – – – – – – –

Условие неотрицательности параметра управления:

(3)

c_1, с₂,… с_j, с_n - называются коэффициентами при неизвестных в целевой функции.

– технологические коэффициенты, произвольные числа, встречаются в ограничениях произвольное число раз, это коэффициенты при неизвестных в левой части структурных ограничений.

С_j ,b_i – заданные постоянные величины.

Полученная модель относится к классу задач ЛП, называемой ОБЩЕЙ. Признаки общей задачи : технологические коэффициенты принимают произвольные значения, а каждая переменная входит в ограничение произвольное число раз.

Формы математических моделей общей задачи ЛП

В зависимости от соотношения между левыми и правыми частями ограничений, формы математической модели общей задачи ЛП делятся на:

Стандартную, если между левой и правой частями ограничений стоит знак неравенства. В экономике, при неравенствах вида ≤,как правило, формулируются задачи на максимум, а при неравенствах - ≥, как правило, на минимум.

Каноническая форма, если ограничения заданы знаком равенства, при такой форме возможна и максимизация и минимизация целевой функции.

Смешанная форма, если в ограничениях присутствуют как знак равенства, так и неравенства.

Задачу максимизации целевой функции всегда можно привести к задаче на минимум этой же линейной функции, взятой со знаком «минус», при этом используется соотношение:

maxZ = min (– Z)

т.е. для приведения задачи «на максимум» к задаче «на минимум», достаточно в коэффициентах целевой функции поменять знаки на противоположные, найти минимум полученной функции (– Z). Аналогично, в случае необходимости, можно привести задачу «на минимум» к задаче «на максимум».

Формы записи экономико-математической модели

Запись с помощью знаков суммирования

– max

Векторно-матричная форма записи задачи

Если воспользоваться матричными обозначениями, то задачу ЛП можно записать компактно. Обозначим С=(с₁,с₂, …, с_j, …, с_n ) – вектор-строка стоимостей единиц продукции.

x1 b1

x2 b2

. .

X= xj ; – вектор-стовпець змінних; B = bi – вектор-стовпець ;

. (або параметрів управління) . правых xn bm

a₁₁ a₁₂ … a_1j a_1n

a₂₁ a₂₂ … a_2j a_2n

A= – – – – – – –матрица условий,

a_i1 a_i2 … a_ij a_in (матрица технологических коэффициентов)

– – – – – –

a_m1 a_m2 … a_mj a_mn

0= 0

0 нулевой вектор– столбец

0

Тогда задача (1)-(3) запишется:

Z= CX – max (1’)

AX ≤ B (2’)

X ≥ 0 (3’)

Векторная форма записи

Еще один способ можно получить, если j-ый столбец матрицы А обозначить через А_j , а матрицу А представить как строку длиной n, состоящую из m-мерных векторов-столбцов.

Z=CX- max (1’’)

x₁A₁+x₂A₂+ …+x_jA_j+ …+ x_nA_n ≤ B (2’’)

X ≥ 0 (3’’)