Лекция 1

Лекция 1

Предмет и задачи исследования операций. Основные понятия математического программирования.

Предмет и задачи исследования операций

Любая наука возникает в результате возрастающего интереса к определенному классу задач, и развития методов и средств с помощью которых можно решить эти задачи. ИСО не является исключением.

Название дисциплины «исследование операций» заимствовано из западной литературы и появилось в 1940г. .

Первые формальные разработки по ИСО были начаты в Англии во время Второй мировой войны и применялись они для планирования боевых операций, отсюда и возникло название дисциплины.

Команда британских ученых сформулировала и решила задачи эффективной доставки военного снаряжения на фронт.

После окончания войны методы ИСО были перенесены в гражданскую сферу для повышения эффективности и продуктивности экономической и производственной деятельности.

Быстрое развитие дисциплина получает с 1962г. Это связывают с возросшей конкуренцией в коммерческой сфере и быстрым развитием вычислительной техники.

Несмотря на то, что сегодня термин не совсем точно отражает суть предмета, он сохранился до нашего времени.

Под операциями понимают действия, направленные на достижение поставленной цели. Это могут быть военные действия, производственные процессы, коммерческие мероприятия, административные решения, и т.д.

До тех пор, пока цель не определена, нет смысла говорить об операции. Если же цель определена и существует множество возможных вариантов ее достижения, то необходимо найти наилучший (оптимальный ) в некотором смысле вариант при ограничениях, налагаемых на экономические или технологические возможности.

Исследование операций (ИСО) – это наука, занимающаяся разработкой и практическим применением математических количественных методов, для обоснования эффективного (или оптимального) решения задач в различных областях человеческой деятельности.

Предметом исследования операций являются задачи принятия оптимальных решений в различных сферах экономической деятельности (планирование, управление, распределение инвестиций), модели и методы системного анализа, методы исследования и оптимизации операций.

Целью исследования операций является количественное обоснование принимаемых решений по управлению организациями.

Предшествующий построению математической модели всесторонний качественный и количественный анализ той или иной задачи организационного управления - неотъемлемая часть методологии исследования операций. Этот анализ осуществляется в соответствии с принципами системного подхода и предполагает выявление всех существенных элементов задачи и их взаимосвязей.

Проведение системного анализа каждой конкретной задачи, как правило, осуществляется операционной группой, состоящей из специалистов различных профилей: математиков, экономистов, психологов и т. д. Именно комплексный состав операционной группы обеспечивает всестороннее и наиболее полное изучение существа проблемы и позволяет увидеть различные ее аспекты.

Таким образом, методология исследования операций включает следующие наиболее существенные компоненты: системный анализ, моделирование и использование для решения задач организационного управления комплексных операционных групп.

Основными методологическими принципами ИСО являются:

1. Системный подход и системный анализ к изучению объекта или процесса. Заключается в том, что какой бы частной не была задача, ее всегда следует решать с точки зрения системы в целом. (частная задача рассматривается с точки зрения ее влияния на критерий функционирования всей системы) Система, (греч. «целое, составленное из частей; соединение) – множество элементов, находящихся в отношениях и связях друг с другом, которое образует определенную целостность, единство.

2. Стремление найти оптимальное решение поставленной задачи. Нахождение оптимального решения всегда базируется на построении математической модели и использовании для ее анализа математического аппарата. Поэтому основные данные задачи, которая решается должны быть количественными, а качественные характеристики – это своего рода «фон» применяемой модели.

Характерными понятиями исследования операций являются: экономико- математическая модель, изменяемые переменные, ограничения, целевая функция.

ИСО, в зависимости от решаемых задач и методов их решения, подразделяется на ряд самостоятельных дисциплин таких как:

• математическое программирование,

• многокритериальная (векторная) оптимизация,

• теория массового обслуживания,

• теория игр,

• теория управления запасами

• сетевое планирование,

• теория расписаний,

• теория графов и др.

Предмет и основные понятия математического программирования (МП)

Термин «программирование» в названии дисциплины ничего общего с термином «программирование» (т.е. написание программы ) для ЭВМ не имеет, т.к дисциплина «МП» возникла еще до того времени, когда ЭВМ стали широко применяться для решения математических и др. задач.

Термин «программирование» был введен во время 2-ой Мировой войны и являлся сугубо военным. «Программирование» означало составление планов поставок военной техники. Написание программ называлось кодированием.

Математическое программирование – это математическая дисциплина, в которой изучаются методы решения задач нахождения экстремума функции (максимума или минимума) нескольких переменных, на множестве их возможных значений, определяемом ограничениями.

Наличие ограничений делает задачи математического программирования принципиально отличными от классических задач математического анализа по отысканию экстремальных значений функции. Методы математического анализа для поиска экстремума функции в задачах математического программирования оказываются непригодными.

Особенности задач МП в сравнении с классическими:

• это всегда задачи на нахождение условного экстремума (т.к. имеются ограничения на область изменения переменных);

• ограничения могут быть заданы как равенствами(=), так и неравенствами (≤ , ≥);

• от переменных требуется, чтобы они принимали неотрицательные значения;

При решение экстремальных задач выделяют этапы:

1. построение экономико-математической модели задачи

2. нахождение оптимального решения одним из методов;

3. практическое применение найденного решения.

Экономико-математическая модель – это абстрактное, как правило, упрощенное математическое описание какого-либо реального объекта или процесса с помощью математических понятий.

Сущность решаемой задачи записывается в схематической форме в виде функций, уравнений, неравенств, чисел и т.д.

При составлении модели учитываются самые главные факторы и условия, а также выбираются характеристики и системы параметров, а затем строятся соотношения между ними.

Математическая модель задачи математического программирования в общем виде такова:

– max (min) (1)

(2)

(3)

Где b_i – заданная константа

Модель задачи математического программирования включает:

1. Функция (1) экстремум которой необходимо найти, называется целевой функцией (функция цели, показатель эффективности, критерий оптимальности и пр.). Целевая функция позволяет выбрать наилучший вариант из множества возможных решений. Наилучший вариант это экстремальное значение ЦФ. Целевую функцию обозначим буквой Z. В качестве ЦФ обычно выступает какой-либо финансовый показатель (доходы, расходы, прибыль), или натуральный показатель (кол-во перевезенного груза, кол-во произведенной продукции ).

2. Совокупность неизвестных величин – изменяя значения которых, можно влиять на значения целевой функции. Их называют параметрами управления, а также планом задачи или переменными.

3. (2) – система ограничений или условия, налагаемые на переменные. Еще их называют структурные ограничения. Наличие структурных ограничений следует из ограниченности ресурсов, которыми располагает общество либо из условий производственных и технологических процессов. Математически ограничения выражаются в виде уравнений или неравенств. Совокупность ограничений образует область допустимых решений (область экономических возможностей).

4. (3)– условие неотрицательности переменных, потому, что на практике физический или экономический смысл значений переменных требует их положительного значения.

План X=( ) называется допустимым, если он удовлетворяет системе ограничений (2) задачи, и условию неотрицательности (3) переменных.

Допустимый план называется оптимальным, если ЦФ при нем достигает искомого экстремума.