- •Федеральное агентство связи
- •Московский технический университет связи и информатики Кафедра теории вероятностей и прикладной математики
- •Высшая математика
- •Часть 1 линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1 Семестр
- •Часть 1
- •Введение
- •Рабочая программа
- •Список литературы
- •Тематика лекций
- •Тематика упражнений
- •1. Самостоятельная работа над учебником
- •2. Решение задач
- •3. Выбор варианта
- •4. Выполнение контрольных работ
- •Определение 1. Прямоугольная таблица чисел или иных математических
- •Свойства сложения матриц
- •Свойства умножения матрицы на число
- •Свойства умножения матриц
- •2. Определители и их свойства. Обратная матрица. Ранг матрицы
- •Свойства определителей
- •Ранг матрицы
- •Порядок нахождения ранга матрицы
- •Ранг ступенчатой матрицы равен числу её ненулевых строк
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Крамеровские системы уравнений. Теорема Кронекера–Капелли Система линейных алгебраических уравнений
- •2. Элементы векторной алгебры
- •1. Векторы и действия над ними
- •2. Линейное пространство. Линейная зависимость. Базис
- •3. Собственные значения и собственные векторы матрицы.
- •4. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
- •Геометрические свойства скалярного произведения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •Алгебраическое свойство смешанного произведения
- •Геометрическое свойство смешанного произведения
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Аналитическая геометрия
- •1. Аналитическая геометрия на плоскости
- •1.1 Линии и их уравнения. Уравнение прямой на плоскости
- •1.2 Уравнение прямой на плоскости
- •1.3 Кривые второго порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Что такое гипербола и каково ее каноническое уравнение?
- •2. Аналитическая геометрия в пространстве
- •2.1 Поверхности, линии и их уравнения
- •2.2 Плоскость и прямая линия Различные виды уравнения плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •2.3 Поверхности 2-го порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •Вариант 0
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Высшая математика
- •Часть 1 линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1 Семестр
Вариант 5
1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
Варианты |
|
Варианты |
|
05 |
-x -5y +2u = -4 4x +y -3z -u = -2 x +4y +4z +u = 0 -y +4z +3u = -4 |
55 |
-3x -5y -z -3u = 8 -5x +y -4z -u = 5 -4x +y -4z -u = 4 -7x-4y-5z-4u = 12 |
15 |
5y -z +3u = 9 -x -y -4z +u = 6 2x -2y -2z -2u = 0 -x+4y-5z+4u =-15 |
65 |
3x +y +u = -9 x +3y -z +2u = -3 x +3y -z +2u = -3 4x +4y-z +3u = -12 |
25 |
4x -4y -z +u = -4 -3x+2y-3z+2u =-9 -5x +2y +2u = -1 x-2y -4z +3u = -13 |
75 |
2x -z +2u = -9 -3x+4y+6z+2u =-5 -2x +4y +4z -u = 0 -5x+8y+10z+u =-5 |
35 |
-3x -y +z +2u = 7 -4x -3y -3z-u = -8 -3x-2y +2z -2u = 2 -7x-4y-2z +u = -1 |
85 |
2x +y -2z -u = 0 -2x -3y +2 u = -1 -3x-2y+2z +u = -2 -2y -2z +u = -1 |
45 |
4x -2y +4z -u = 0 x +3y +4z +2u = -2 -x +5y +z -2u = 6 5x +y +8z +u = -2 |
95 |
-3x+3y-2z+2u =-3 -x -2y +4z -2u = 6 2x +3y -5z -u = -7 x +y -z -3u = -1 |
2. Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:
1) вычислить длину стороны ВС;
2) составить уравнение стороны ВС;
3) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;
4) составить уравнение этой высоты.
Варианты |
05 |
15 |
25 |
35 |
45 |
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) |
(19, 7) (16, 18) (10, 10) |
(13,-3) (-10, 8) (2, 13) |
(1,-2) (3,-18) (-9,-13) |
(-15, 11) (-18,-11) (12, 5) |
(19,-4) (-6,-19) (-9,-15) |
Варианты |
55 |
65 |
75 |
85 |
95 |
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) |
(-11, 3) (15, 10) (-5, -5) |
(-2, -19) (2, -7) (-6, -1) |
(-18, 17) (5, 16) (-10,-4) |
(17, 0) (-2,-18) (-11,-6) |
(-14, 4) (-15, 7) (-3, 16) |
3. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Средствами векторной алгебры найти:
1) угол между ребрами А1А2 и А1А4;
2) площадь грани А1А2А3;
3) объем пирамиды А1А2А3А4;
4) уравнение плоскости основания пирамиды А2А3А4;
5) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А1.
Варианты |
05 |
15 |
25 |
35 |
45 |
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) |
(9,-3,3) (2,3,9) (-2,-3,3) (7,-7,7) |
(2,-5,1) (-4,-3,10) (2,-5,-5) (-4,-8,-1) |
(3,5,-5) (7,-3,-6) (-3, 8, 1) (9,-1,-2) |
(-5, 5, 4) (-5, 5,-4) (-7, 9, 8) (-3,-4,-2) |
(8,-4, 3) (8,-7, 3) (8,-4, 6) (5, 2,-3) |
Варианты |
55 |
65 |
75 |
85 |
95 |
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) |
(-2,-2,-2) (-3,-4,-4) (-2,-6,-2) (-2,-6,-5) |
(-5,-3,-1) (2, 1, 3) (-6, 1, 7) (-4,-7, 7) |
(1, 2, 6) (-5,-4, 3) (-1, 4, 7) (9, 6, 7) |
(-1,-5, 9) (1,-9, 5) (-7,-8, 3) (1,-4, 7) |
(-7, 4,-7) (-7, 4,-1) (-3,-4,-6) (-1,-2,-4) |
4. Построить поверхность, определяемую заданным уравнением
Вариант |
Уравнение поверхности |
05 |
-4x +y2 -6y + 17 = 0 |
15 |
у 2 - 2y + z2 = 0 |
25 |
x2-6x+4y2+9z2+36z= 99 |
35 |
16x2+3y2 +16z2 -48 = 0 |
45 |
2x2 +y2 +4y +2z2 = 4x-4z-7 |
55 |
x2 -9y2 -3z2 = 0 |
65 |
х2 +4y2 -2z2 = 0 |
75 |
x2+2x+2y2+4y+4z2+1= 0 |
85 |
x2 +y2 +2z2 -2 -4z = 0 |
95 |
9x2-18x+16y2+64y+36z2-216z +253= 0 |