- •Федеральное агентство связи
- •Московский технический университет связи и информатики Кафедра теории вероятностей и прикладной математики
- •Высшая математика
- •Часть 1 линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1 Семестр
- •Часть 1
- •Введение
- •Рабочая программа
- •Список литературы
- •Тематика лекций
- •Тематика упражнений
- •1. Самостоятельная работа над учебником
- •2. Решение задач
- •3. Выбор варианта
- •4. Выполнение контрольных работ
- •Определение 1. Прямоугольная таблица чисел или иных математических
- •Свойства сложения матриц
- •Свойства умножения матрицы на число
- •Свойства умножения матриц
- •2. Определители и их свойства. Обратная матрица. Ранг матрицы
- •Свойства определителей
- •Ранг матрицы
- •Порядок нахождения ранга матрицы
- •Ранг ступенчатой матрицы равен числу её ненулевых строк
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Крамеровские системы уравнений. Теорема Кронекера–Капелли Система линейных алгебраических уравнений
- •2. Элементы векторной алгебры
- •1. Векторы и действия над ними
- •2. Линейное пространство. Линейная зависимость. Базис
- •3. Собственные значения и собственные векторы матрицы.
- •4. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
- •Геометрические свойства скалярного произведения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •Алгебраическое свойство смешанного произведения
- •Геометрическое свойство смешанного произведения
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Аналитическая геометрия
- •1. Аналитическая геометрия на плоскости
- •1.1 Линии и их уравнения. Уравнение прямой на плоскости
- •1.2 Уравнение прямой на плоскости
- •1.3 Кривые второго порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Что такое гипербола и каково ее каноническое уравнение?
- •2. Аналитическая геометрия в пространстве
- •2.1 Поверхности, линии и их уравнения
- •2.2 Плоскость и прямая линия Различные виды уравнения плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •2.3 Поверхности 2-го порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •Вариант 0
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Высшая математика
- •Часть 1 линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1 Семестр
Вариант 4
1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
Варианты |
|
Варианты |
|
04 |
2x -y + 3z -2u = 1 x - z + 2u = 6 x + y - z + u = 4 3x - y + z - u = 0 |
54 |
4x +2y +3z +2u = 5 3x +3y +5z -u = 3 -5x -6y -6z-u = -9 -2x-3y -z -2u = -6 |
14 |
3x + 2z + u = –5 –4x–3y +5z–2u =–1 –2x–4y+6z+u = 4 –x–3y+ 7z – u =–6 |
64 |
4x +4y –z –2u = 5 –3y +3z –u = 5 –2x –y –z –u = –7 4x +y +2z –3u = 11 |
24 |
–x +3y +2z+3u = –7 –4x +6y –6z –2u =8 –2x +5y –u = 3 –6x+11y–6z–3u=11 |
74 |
-4x+5z +2u = 9 -4x -y –4z -2u =-8 -x +3y -5z +u = -6 -4x -5y +z = 1 |
34 |
2y +3z –u = 9 –2x –6y +z +2u =–2 –2x –5y –3z +u =–8 –2x –4y +4z +u = 8 |
84 |
x–3y + 4z +2u = –3 –y –5z –3u = 5 2x +2y –z +u = –2 2x +y –6z –2u = 4 |
44 |
-4x-2y-5z +u = -3 -2x +6y +4z +u = 0 4x -y +6z -2u = -3 -3y +z -u = -6 |
94 |
x +y -4z +2u = 7 2x -6y +2u = -8 -x -5y -5z +u = -9
|
Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:
1) вычислить длину стороны ВС;
2) составить уравнение стороны ВС;
3) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;
4) составить уравнение этой высоты.
Варианты |
04 |
14 |
24 |
34 |
44 |
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) |
(-17,-9) (-3,-6) (3,-14) |
(12,-13) (-13, 12) (-19, 20) |
(-3, 11) (11, 8) (-7,-16) |
(0,11) (13, 12) (10, 16) |
(-7, 6) (20,-3) (14,-11) |
Варианты |
54 |
64 |
74 |
84 |
94 |
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) |
(5, 12) (-5,-8) (7, 1) |
(15,-19) (17, 20) (-19,-7) |
(19, 1) (-17, 3) (19,-12) |
(6,-16) (4, 13) (0, 16) |
(1, 4) (14,-9) (19, 3) |
3. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Средствами векторной алгебры найти:
1) угол между ребрами А1А2 и А1А4;
2) площадь грани А1А2А3;
3) объем пирамиды А1А2А3А4;
4) уравнение плоскости основания пирамиды А2А3А4;
5) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А1.
Варианты |
04 |
14 |
24 |
34 |
44 |
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) |
(-2,-1,2) (1,-7, 4) (-2, 2, 6) (-4, 8, 8) |
(-3,-6,-5) (-9,-9, 1) (5,-2,-6) (-5,-8,-4) |
(-3,-7,-6) (3,-5, 3) (-1,-1,-3) (-9,-5,-9) |
(2,-7,-3) (8,-7, 5) (-4,-10,-9) (-6,-7, 3) |
(-4, 1,-2) (-4,-3,-2) (-7, 3, 4) (-5, 1,-2) |
Варианты |
54 |
64 |
74 |
84 |
94 |
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) |
(2, 1,-8) (1, 1,-8) (4,-2,-2) (8,-1,-5) |
(2, 1,-5) (2, 5,-5) (-2, 5, 2) (-4,-1,-2) |
(-4,-6,-3) (2,-9,-9) (-2,-4,-2) (-1,-4,-9) |
(9,-1,-5) (6, 5, 1) (5,-4,-5) (7, 3,-9) |
(-4,-5, 4) (-4,-5,-8) (-5,-7, 2) (5,-7, -2) |
4. 1) Составить уравнение поверхности, образованной вращением линии вокруг оси ОZ.
2) Подобрать значение параметра p так, чтобы точка А(x0;y0;z0) лежала на поверхности.
3) Сделать схематический чертёж.
Варианты |
Данные |
задачи |
|
Уравнение линии в плоскости Х = 0 |
А(x0;y0;z0) |
04 |
y 2 - 2 = z 2 |
(3; -2; 3) |
14 |
рy 2 + z2 = 4 |
(1; 2; 1) |
24 |
у 2 + 2 = pz 2 |
(1; 0; 1) |
34 |
рy 2 = z 2 |
(2; 2; -2) |
44 |
p + y 2 = z 2 |
(-1; 1; 2) |
54 |
5y 2 + pz 2 = 10 |
(-1; 1; -1) |
64 |
у 2 + z 2 = p |
(-2; 1; 1) |
74 |
рy 2 + z 2 = 4 |
(-1; 1; 0) |
84 |
рy 2 = z 2 |
(3; 2; 3) |
94 |
рy 2 +4 = z 2 |
(-5; 2; 1) |