Алгебраическое свойство смешанного произведения

([a,b], с) = (a,[b, с]) = (b,[с,a]).

Геометрическое свойство смешанного произведения

Модуль смешанного произведения (a,b, с)  равен объёму параллелепипеда,

построенного на векторах a, b, с.

Пример 25. Даны вершины треугольника А(2,1,3), В(4,-2,4), С(5,2,1). Определить величину угла А.

Решение. Находим векторы и :

= (4-2) + (-2-1) + (4-3) = 2 - 3 + ;

= (5-2) + ( 2-1) + (1-3) = 3 + - 2 .

Далее:   = ,

  = .

Найдем скалярное произведение векторов и по формуле (11):

( , ) = 2 3 + (-3) 1 + 1 (-2) = 6 – 3 – 2 = 1 .

Окончательно, из формулы (12) получим

сos  = и по таблице (или с помощью калькулятора) найдем  85⁰ 54 .

Пример 26. Вычислить площадь треугольника АВС из примера 24.

Решение. Найдем векторное произведение векторов и :

с = = [ , ] = .

По определению векторного произведения   численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах сомножителей, а площадь ΔАВС равна

половине площади этого параллелограмма, т.е.

S_ΔABC = кв. ед.

Пример 27. Основанием пирамиды SABC служит Δ АВС из примера 24.

Вершина S (3,3,6). Найти объем пирамиды.

Решение. Для решения этой задачи учтем, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и как на ребрах, равен абсолютной величине смешанного произведения этих векторов, а объем пирамиды составляет 1/6 часть объема указанного параллелепипеда.

Находим

( , , ) = .

Тогда объем пирамиды V = 52/6 = 26/3 куб. ед.

Вопросы для самопроверки

1. Могут ли два вектора иметь равные длины, но быть неравными?

2. Могут ли два коллинеарных вектора иметь равные длины, но быть неравными?

3. Чем отличаются составляющие вектора по осям координат от его проекции на оси координат?

4. Что такое скалярное произведение двух векторов и по какой формуле оно вычисляется?

5. Что такое векторное произведение двух векторов и по какой формуле оно находится?

6. Что такое смешанное произведение трех векторов и по какой формуле оно вычисляется?

7. Как расположены ненулевые векторы a, b и с относительно друг друга, если:

а) (a, b) = 0; б) (a, b) = a b; в) [a , b] = 0; г) [a ,b] = a b; д) (a, b, с) = 0; е) (a,b, с) = abс ?

8. Что называется линейной комбинацией векторов?

9. Какие векторы называются линейно независимыми?

10. Дайте определение базиса векторного пространства.

11. Что такое координаты вектора в данном базисе?

12. Что называется размерностью линейного векторного пространства?

13. Какое пространство называется евклидовым?

14. Какой базис называется ортонормированным?