Геометрические свойства скалярного произведения

1. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов

a и b является равенство нулю их скалярного произведения: (a,b) = 0.

2. Угол  векторами a и b определяется соотношением

cos = . (12)

3. Два вектора a и b составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно).

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор с, обозначаемый с = [a ,b], длина которого равна произведению длин векторов a и b, умноженному на синус угла  между ними, т.е.

с  = [a ,b]  = с = ab sin  = ab sin (a ,b), (13)

при этом ветор с ортогонален каждому из векторов a и b и направлен так, что тройка векторов a, b и с является правой.

Е сли векторы a и b определены своими декартовыми координатами, то их векторное произведение можно записать через определитель

[a ,b] = . (14)

Рис. 6

Раскрывая определитель по элементам первой строки, получаем разложение вектора [a ,b] по базису {i, j, k}

[a ,b] = (y_a z_b – y _bz_а) i – (x_а z_b – x_b z_а) j + (x_а y_b– x_b y_а) k . (14-1)

Алгебраические свойства векторного произведения

1. [a ,b] = - [b, a ] .

2. [a ,b] = [a ,b] R .

3. [a +b, с] = [a ,с] + [b, с] .

4. [a ,а] = 0.

Геометрические свойства векторного произведения

1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения: [a ,b] = 0.

2. Длина (или модуль) векторного произведения равняется площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a и b (рис. 6).

Смешанным произведением трех векторов a, b и с называется число (a, b, с),

которое получается, если вектор а умножить на вектор b, а затем получившийся при этом вектор [a ,b] скалярно умножить на вектор с:

(a, b, с) = ([a ,b], с) .

Если три вектора a, b и с определены своими декартовыми прямоугольными координатами

а = ( x_a , y_а , z_а ) , b = ( x_в , y_в , z_в ) , c = ( x_с , y_с , z_с ),

то смешанное произведение (a, b, с) равняется определителю, строки которого есть координаты перемножаемых векторов:

(a, b, с) = .