668
.pdfЧисленное решение системы дифференциальных уравнений (1.52) будет сводиться к построению в расчетной области конеч- но-разностной сетки линий скольжения, в узлах которой будут известны все параметры канонической системы − α, σ, x, z.
Узлы конечно-разностной сетки представляют собой точки пересечения линий скольжения 1-го и 2-го семейств. Главное отличие дискретных сеток в численных решениях ТПРГ от сеток метода конечных разностей, например, в «Теории упругости» состоит в том, что в ТПРГ сетка получается в процессе решения, а не задается сразу, и, во-вторых, очертание сетки линий скольжения по определению наполнено конкретным физическим смыслом, характеризуя картину разрушения основания.
1.4.2. Решение по двум точкам
Пусть искомая точка M находится на пересечении двух характеристик 1-го и 2-го семейств (рис. 1.20), и в ближайших к точке M узлах 1 и 2 конечно-разностной сетки, образующих с точкой M отрезки соответствующих характеристик, известны все параметры канонической системы уравнений − соответственно x1,
z1, α1, σ1 и x2, z2, α2, σ2 (здесь σ1 и σ2 − не главные напряжения, а значения средних приведенных напряжений в точках 1 и 2).
Определим величины x, z, α, σ в точке M численным интегрированием канонической системы уравнений (1.52).
O |
|
x |
|
ЛС-2 |
ЛС-1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
α2 |
σ2 |
x2 |
z 2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
M |
|
α1 σ1 x1 z 1 |
|
|
|
|
|
z |
α σ |
x |
z |
|
Рис. 1.20. Схема к численному интегрированию канонической системы уравнений
(ЛС-1 и ЛС-2 − линии скольжения 1-го и 2-го семейств)
63
Кроме дифференциалов dx, dz, dα, dσ, в выражения (1.52) входят значения функций α(x, z), σ(x, z). В предлагаемой ниже конечно-разностной аппроксимации канонических уравнений будем обозначать значения этих функций через α% и σ% с «волной», а запись α и σ без «волны» будем использовать для значений этих функций в искомой точке M. С точки зрения конечно-разност- ного решения существует две пары значений α% и σ% : по характеристике 1-го семейства − α% 1 и σ%1 , по характеристике 2-го − α% 2 и
σ% 2 . Соответственно значения α% 1 и σ%1 должны принадлежать ин-
тервалам [α, α1] и [σ, σ1], а α% 2 и σ% 2 − интервалам [α, α2] и [σ, σ2]. С учетом сказанного распишем уравнения (1.52) в конечно-
разностном виде:
(x − x1) = (z − z1) tg(α1 + µ), |
|
% |
|
(x − x2 ) = (z − z2 ) tg(α2 − µ), |
|
% |
(1.53) |
(σ − σ1) + 2σ1tgϕ (α − α1) = γ[z − z1 − (x − x1)tgϕ], |
|
% |
|
(σ − σ2 ) − 2σ2tgϕ (α − α2 ) = γ[z − z2 + (x − x2 )tgϕ]. |
|
% |
|
Четыре уравнения (1.53) содержат четыре неизвестных величины x, z, α, σ в точке M, а также четыре неизвестных значения α% 1, σ%1 , α% 2 и σ% 2 , у которых известен лишь диапазон их изменения
(см. выше). Следуя [31], эту систему можно решать итерационным методом, задав на первом шаге какие-либо значения α% 1, σ%1 ,
α% 2 и σ% 2 , а затем, рассчитав основные искомые x, z, α, σ, коррек-
тировать их.
Выразим искомые величины из (1.53):
z = x1 − x2 − z1tg(α% 1 + µ) + z2tg(α% 2 − µ) , tg(α% 2 − µ) − tg(α% 1 + µ)
|
|
x = (z − z1)tg(α1 + µ) + x1 , |
|
(1.54) |
||
|
|
% |
|
|
|
|
α = γ[−z1 + z2 − (x − x1) tg ϕ − (x − x2 ) tg ϕ] + σ1 − σ2 |
+ 2tg ϕ(σ1α1 |
+ σ2α2 ) |
, |
|||
|
|
|
|
% |
% |
|
|
|
2tgϕ(σ1 |
+ σ2 ) |
|
|
|
|
σ = σ1 |
% |
% |
|
|
|
|
− 2σ1tgϕ(α − α1) + γ[z − z1 − (x − x1)tgϕ]. |
|
|
|||
|
|
% |
|
|
|
|
Такие вычисления осуществляются на ЭВМ с помощью итераций на каждом шаге интегрирования. Для этого удобно исполь-
64
зовать, например, следующую последовательность рекуррентных формул, введя некоторые новые обозначения:
1.t1 = tg(α% 1 + µ), t2 = tg(α% 2 − µ);
2.z = x1 − x2 − z1t1 + z2t2 ; t2 − t1
3.x = (z − z1)t1 + x1;
4.a11 = 2σ%1tgϕ,
a22 |
= 2σ2tgϕ; |
(1.55) |
|
% |
|
5.p1 = γ[z − z1 − (x − x1)tgϕ], p2 = γ[z − z2 + (x − x2 )tgϕ];
6.α = p1 − p2 + σ1 − σ2 + a11α1 + a22α2 ;
+a22a11
7. σ = σ1 − a11 (α − α1) + p1.
На первой итерации принимается:
α% 1 = α1, α% 2 = α2 , σ%1 = σ1, σ% 2 = σ2 .
После чего, рассчитав x, z, α, σ начиная со второй итерации, следует принять:
α1 = |
α + α1 |
, α2 = |
α + α2 |
, σ1 = |
σ + σ1 |
, σ2 = |
σ + σ2 |
. |
% |
2 |
% |
2 |
% |
2 |
% |
2 |
|
|
|
|
|
|
Как правило, бывает достаточно 3–5 итераций.
Пример. Даны параметры канонической системы уравнений (1.52) в точках 1 и 2, принадлежащих характеристикам различных семейств:
x1 |
= 0,1399; |
z1 |
= 0,0953; |
σ1 |
= 58,5064; |
α1 |
= −1,3866; |
x2 |
= 0,1209; |
z2 |
= 0,1034; |
σ2 |
= 56,3639; |
α2 |
= −1,4247. |
Характеристики грунта: γ = 20 − удельный вес грунта, ϕ = 30° − угол внутреннего трения; c = 1 − удельное сцепление.
65
Определить параметры канонической системы в точке M пересечения этих характеристик. Количество итераций − 3.
Данный расчет ведется по формулам (1.55). Результаты расчета сведены в табл. 1.1 Окончательные значения параметров канонической системы уравнений в искомой точке выделены в табл. 1.1 жирным шрифтом.
|
|
|
|
Таблица 1.1 |
|
Пример шага численного интегрирования |
|||
|
|
канонических уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
Параметр |
|
1-я итерация |
2-я итерация |
3-я итерация |
|
|
|
|
|
α1 |
|
–1,3866 |
–1,3870 |
–1,3872 |
% |
|
|
|
|
α2 |
|
–1,4247 |
–1,4061 |
–1,4063 |
% |
|
|
|
|
σ1 |
|
58,5064 |
58,7123 |
58,7253 |
% |
|
|
|
|
σ2 |
|
56,3639 |
57,6411 |
57,6540 |
% |
|
|
|
|
t1 |
|
–1,1686 |
–1,1696 |
–1,1701 |
t2 |
|
2,5219 |
2,6660 |
2,6643 |
z |
|
0,1060 |
0,1059 |
0,1059 |
x |
|
0,1274 |
0,1275 |
0,1275 |
a11 |
|
67,5573 |
67,7952 |
67,8101 |
a22 |
|
65,0834 |
66,5582 |
66,5731 |
p1 |
|
0,3578 |
0,3546 |
0,3547 |
p2 |
|
0,1269 |
0,1261 |
0,1261 |
α |
|
–1,3874 |
–1,3878 |
–1,3878 |
σ |
|
58,9183 |
58,9442 |
58,9444 |
1.4.3. Решение вблизи границы
Могут быть и другие варианты задания исходных данных и, следовательно, решения канонической системы. Разберем случай, когда в некоторой точке 1, принадлежащей характеристике 1-го семейства, известны все параметры канонической системы уравнений − x1, z1, α1, σ1 (рис. 1.21). Данная линия скольжения может быть продолжена до пересечения с некоторой линией (не характеристикой!), если на последней известны два параметра из четырех. В приведенном на рис. 1.21 примере это известные значения
z0 и α0.
С практической точки зрения такой границей может быть горизонтальная поверхность основания с известной ординатой z0
66
для всех точек границы, и, например, условием строго вертикального приложения к этой поверхности внешнего давления, что приводит к требованию по α – углу, определяющему направление
σ1: α0 = 0.
Запишем в конечных разностях канонические уравнения, касающиеся только линии скольжения 1-го семейства, вдоль которой и будет строиться решение:
|
|
|
|
(x − x1) = (z0 − z1) tg(α1 + µ), |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
(1.56) |
|
(σ − σ1) + 2σ1 tgϕ(α0 − α1) = γ[z0 − z1 − (x − x1) tgϕ], |
|||||||||
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
где α1 = |
α + α1 |
, |
σ1 |
= |
σ + σ1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
% |
2 |
|
% |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
M |
граница, на которой известны z0 и α0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
α0 |
σ x |
z0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
α1 σ1 x1 |
z 1 |
ЛС-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
z |
|
|
|
|
|
ЛС-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.21. Схема к численному интегрированию канонической системы уравнений по одной линии скольжения
(ЛС-1 и ЛС-2 − линии скольжения 1-го и 2-го семейств)
Отсюда
|
x = (z |
|
− z ) tg |
|
α0 + α1 |
+ µ |
|
+ x , |
|
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(1.57) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
σ = |
γ[z0 − z1 − (x − x1) tgϕ]+ σ1[1− tgϕ(α0 − α1)] |
. |
|||||||
|
|||||||||
|
|
1+ tgϕ(α0 − α1) |
|
|
|
|
На границе, в направлении которой ведется интегрирование, может быть задана и другая пара величин, входящих в канониче-
67
скую систему, например x0 и α0. Такие граничные условия часто ставят, например, на оси симметрии, где σ1 может быть направлено либо строго вертикально, либо горизонтально, и уравнение которой задается в виде x = x0 = const. Тогда выражения (1.56) примут вид:
|
(x0 − x1) = (z − z1) tg(α1 + µ), |
|
|||||||
|
|
|
|
% |
|
|
|
(1.58) |
|
(σ − σ1) + 2σ1 tgϕ(α0 − α1) = γ[z − z1 − |
(x0 − x1) tgϕ], |
||||||||
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а решением будут вполне аналогичные (1.57) формулы: |
|
||||||||
|
z = (x |
− x ) ctg |
|
α0 + α1 |
+ µ |
|
+ z , |
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.59) |
|
|
γ[z − z1 − |
(x0 − x1) tgϕ]+ σ1[1− tgϕ(α0 − α1)] |
|
||||||
σ = |
. |
|
|||||||
|
|
|
|||||||
|
|
1+ tgϕ(α0 − α1) |
|
|
|
|
Нетрудно получить такие же выражения для случая, когда интегрирование ведется по характеристике второго семейства.
1.4.4. Решение с неизвестным контуром
Рассмотрим еще один случай, когда при интегрировании вдоль только одной из характеристик неизвестен контур границы, до которого должна «дотянуться» характеристика, неизвестны также значения и направления напряжений, но известно лишь, что эта граница свободна от нагрузки. Такая ситуация показана на рис. 1.22 и может возникнуть, например, при расчете предельного очертания склона.
Предположим, что из предыдущего решения известны значения параметров x1, z1, α1, σ1 в точке 1. Определим параметры канонической системы уравнений в точке M свободного от нагрузки контура грунтового массива. Допустим, что в ближайшем и к искомой точке M, и к заданной точке 1, узле O, принадлежащим контуру, известно: его координаты x0, z0, параметр α0, который является, по существу, граничным условием. Значение среднего приведенного σ0 напряжения в этой точке для излагаемого ниже решения несущественно.
Приняв во внимание, что неизвестный контур свободен от нагрузки, можно сделать два вывода.
68
известная граница O |
|
x |
ЛС-2 |
α0 σ0 x0 |
z 0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
β |
неизвестный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
α |
1 |
σ |
1 |
x |
1 |
z |
1 |
α = β контур склона |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α σ x z |
|
|
|
ЛС-1 |
|
|
|
M |
σ1M |
|||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.22. Схема к численному интегрированию канонической системы уравнений по одной линии скольжения при неизвестном контуре (ЛС-1 и ЛС-2 − линии скольжения 1-го и 2-го семейств; σ1M − первое главное напряжение в точке M)
Во-первых, что первое главное напряжение σ1M в искомой точке будет направлено по касательной к границе (см. рис. 1.22), т.е. угол α наклона σ1M к оси Oz совпадает с углом β наклона контура к этой же оси, и в численном решении можно принять:
tg α = tgβ = x − x0 .
Во-вторых, так как на свободной границе третье главное напряжение σ3M равно нулю, то согласно закону Кулона–Мо- ра (1.15)
σM = |
2c cosϕ |
, |
|
|
|||
1 |
1 |
− sin ϕ |
|
|
|
тогда в точке M среднее приведенное напряжение по определению (1.30) равно:
σ = 1c−ctgsinϕϕ .
Объединяя полученные равенства с уравнениями для характеристик 1-го семейства, имеем:
69
(x − x0 ) = (z − z0 ) tgα% 0 , (x − x1) = (z − z1) tg(α% 1 + µ),
(σ − σ1) + (σ + σ1) tgϕ (α − α1) = γ[z − z1 − (x − x1) tgϕ], (1.60)
|
|
σ = |
c ctg ϕ |
. |
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
1− sin ϕ |
|
|||
Здесь α0 = |
α + α0 |
, α1 = |
α + α1 |
. |
|||
% |
2 |
% |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Разрешая систему (1.60) относительно неизвестных, имеем:
1.t1 = tg(α% 1 + µ),
t0 = tg α% 0 ;
2.z = x1 − x0 − z1t1 + z0t0 ; t0 − t1
3. |
x = (z − z1)t1 + x1; |
(1.61) |
4. |
a11 = (σ + σ1)tgϕ, |
|
|
p1 = γ[z − z1 − (x − x1)tgϕ]; |
|
5. α = p1 − σ + σ1 + α1.
a11
На первой итерации принимаем α% 0 = α0 , на последующих
α0 = |
α + α0 |
. |
% |
2 |
|
|
|
1.4.5. Понятие о краевых задачах
Численное решение задач ТПРГ сводится к интегрированию по трем схемам, или краевым задачам. Последовательности построения сетки линий скольжения в каждом из трех случаев показаны на рис. 1.23.
Первая краевая задача (задача Коши). В этом случае задана некоторая граница, например, участок поверхности основания OA (см. рис. 1.23, а), на которой в каждой точке известны все параметры канонической системы x, z, α, σ. Вначале производят дискретизацию участка границы. На показанном на рис. 1.23, а примере на отрезке выделено четыре точки. После чего согласно ука-
70
занному стрелками порядку по формулам (1.55) находят узлы сетки и получают область OAB.
Вторая краевая задача (задача Гурса). В этом случае заданы две характеристики различных семейств по одну сторону от точки их пересечения (см. рис. 1.23, б). На рисунке это характеристики OA и OC. На каждой из характеристик выделяют несколько точек для дальнейшего численного решения. На рис. 1.23, б таких точки четыре на характеристике OC и три на характеристике OA. Согласно очередности, указанной на рисунке стрелками, последовательно находят узлы конечно-разностной сетки, рассчитывая по формулам (1.55) в них все параметры.
а) |
O |
|
ЛС-1 |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
σ |
x |
|
|
|
|
|
|
||
|
α |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛС-2 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
B |
|
|
б) |
ЛС-2 |
|
|
|
|
в) |
|
O |
|
|
|
|
O ЛС-1 |
A |
|
|
|
|
A |
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
ЛС-2 |
|
|
|
|
ЛС-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
σ1 |
|
C |
|
|
|
B |
|
|
|
|
σ1 |
|
B |
−α |
||
z |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
z |
|
Рис. 1.23. Последовательность построения численного решения:
а− I краевая задача (Коши), б − II краевая задача (Гурса),
в− III краевая задача (смешанная)
71
Третья краевая задача (смешанная задача). В этом случае задана характеристика какого-либо семейства и граница, на которой заданы два из четырех параметров канонической системы. При этом, как и в предыдущем случае, решение будет строиться по одну сторону от точки пересечения заданной линии скольжения AB и заданного участка границы OA (см. рис. 1.23, в). Последовательность построения сетки характеристик показана на рисунке стрелками. Особенность III краевой задачи состоит в том, что определение точек непосредственно на границе OA будет производиться по формулам (1.57) или (1.59) в зависимости от способа задания граничных условий. В примере, который дан на рис. 1.23, в должны использоваться формулы (1.57). Остальные точки получают по общим уравнениям (1.55).
Область радиального веера. Вторая краевая задача имеет очень важный частный случай, получивший широкое применение для решения многих практических задач, − область радиального веера. Такая ситуация возникает, если, представим, одна из двух заданных линий скольжения, например OA на рис. 1.23, б окажется стянутой в точку, из которой таким образом будет выходить пучок линий скольжения другого семейства. В результате получается область, примерный вид которой показан на рис. 1.24, а. Точки, из которых выходит пучок характеристик одного семейства, в ТПРГ называются особыми.
Последовательность построения сетки линий скольжения для этого случая при заданной характеристике OB и особой точке O(A) показана на рис. 1.24, а. От решения обычной задачи Гурса случай радиального веера отличает только наличие особой точки, «строение» которой показано на рис. 1.24, б.
В пределах особой точки меняется два параметра α и σ, но остаются постоянными ее координаты x = const и z = const. Поскольку особая точка представляет собой вырожденную линию скольжения (в примере, показанном на рис. 1.24, б, − 1-го семейства), то изменение параметров α и σ в ней описывается соответствующими уравнениями канонической системы при dx = 0, dz = 0.
Тогда из двух канонических уравнений, определяющих характеристики 1-го семейства, остается одно:
dσ + 2σ tgϕ dα = 0.
72