Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

406-

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

268.59 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

	∂	€
i		Ψ = H	Ψ ,	(16)

∂t

где € - оператор Гамильтона, имеющий для отдельной частицы вид

€		2
H	= −		+ U (r	, t) ,	(17)
H	= −	2m	+ U (r	, t) ,	(17)
		2m

где - оператор Лапласа, который в прямоугольной декартовой системе ко-

ординат определяется равенством

	=		∂2	+	∂2	+	∂2	,	(18)

		∂x2			∂y 2		∂z 2

а U (r ,t )	- потенциальная энергия частицы, являющаяся, в общем случае,
функцией координат и времени.			В рассматриваемой задаче U (r ,t ) ≡ 0						при
0 < x < a	и обращается в бесконечность при x < 0 и x > a . Поэтому началь-
ное условие (15) должно быть дополнено граничными условиями
	Ψ (0,t ) = Ψ (a,t ) = 0 ,

вытекающими из условия непрерывности волновой функции.

Поскольку в рассматриваемой задаче потенциал не зависит от времени,

то в потенциальной яме существуют стационарные состояния, то есть со-

стояния, в которых частица определенные значения энергии. Поэтому, в силу принципа суперпозиции, любая волновая функция, описывающая состояние частицы в потенциальной яме, может быть разложена по собственным функ-

циям стационарных состояний, то есть по собственным функциям оператора энергии. Волновые функции стационарных состояний частицы в потенци-

альной яме имеют вид

			−	i	E t
Ψ	n	( x,t ) = e		n ψ		n	( x ) ,	(20)
	n					n

где функции ψ n (x ) являются решениями одномерного стационарного урав-

нения Шредингера

€ψ = ψ

H n En n

или

∂2ψ n

E ψ

= 0 .

∂x2

Решения этого уравнения, удовлетворяющие граничным условиям

ψ (0) =ψ (a ) = 0

(21)

и условию нормировки

∫

ψ n

2 (x )dx = 1

(22)

имеют вид

π nx

( x ) =

sin

(23)

а соответствующие им значения энергии определяются равенством

E =

π 2 2

n2 .

(24)

2ma2

Волновые функции (23) ортонормированны, то

∫Ψ*k Ψl dx = ∫ψ k*ψ l dx = δkl ,

где δkl есть символы Кронекера,

и образуют полную систему волновых

функций.

Таким образом, согласно принципу суперпозиции, произвольную вол-

новую функцию Ψ ( x,t ) , описывающую состояние частицы в яме, можно представить следующим образом

∞

π nx

Ψ ( x,t ) = ∑cne

−

n ψ n ( x ) =

2 ∑cne

−

n sin

(25)

E t

n=1

a n=1

где значения энергии En определены равенствами (24).

Чтобы найти коэффициенты cn

разложения (25), заметим, что при t = 0

волновая функция (25) равна

∞

Ψ ( x, 0) =ψ (x ) = ∑cnψ n ( x ) .

n=1

где функция ψ ( x ) - определяется равенствами (15).

Таким образом, коэффициенты cn разложения (25), совпадают с коэф-

фициентами разложения функции ψ ( x ) = Ψ ( x, 0) по собственным функциям

ψ n ( x ) оператора Гамильтона (23).

Прежде всего, из условия нормировки найдем коэффициент A в равен-

стве (15)

a	a	2	5
1 = ∫ψ 2 ( x )dx = A2 ∫x2 (a − x )2 dx =		A a		,
1 = ∫ψ 2 ( x )dx = A2 ∫x2 (a − x )2 dx =		30		,
0	0	30
0	0

откуда

A = − 30 .

a5 / 2

Знак минус выбран для того, чтобы функция ψ (x ) = Ψ ( x, 0) была положи-

тельной.

Далее, с помощью равенства (9) найдём коэффициенты cn разложения

(25),

2 a

π nx

4 15 (1 − cosπ n )

cn = ∫ψ n ( x )ψ ( x )dx = −

∫ (x − a )sin

dx =

a5 / 2

π 3n3

Из полученной формулы следует, что

	0,		n = 2k ,

c	=	8 15
n		8 15	, n = 2k + 1,
			, n = 2k + 1,
	π 3n3

то есть в разложении (25) присутствуют волновые функции только нечетных энергетических уровней стационарных состояний.

Таким образом, волновая функция Ψ ( x,t ) может быть представлена в виде следующей суперпозиции волновых функций стационарных состояний

∞

sin (2k + 1)π x =

∞

Ψ ( x,t ) = 8

∑

2 k +1

30 ∑

3 e

2 k +1 ψ

2 k +1 ,

−

E t

(

)

(

)

a k =0

2k +

a k =0

+ 1

откуда

следует,

что

измерение энергии

частицы

вероятностью

= c2

960

даст значение

π (2k + 1) 6

2 k +1

2k +1

π 2 2

(2k + 1)2

2ma2

2k +1

где k = 0, 1, 2, ... . В частности, вероятность обнаружения частицы в основном

состоянии (k = 0, n = 1) равна P = 0.998555 , в первом возбуждённом состоя-
1
нии (n = 2) - P = 0 , а во втором возбуждённом состоянии								(k = 1, n = 3) -
2
P = 0.0014 .
3
Задача 2. В момент времени t = t0 волновая функция частицы массой m
в одномерной потенциальной яме шириной l			с бесконечно высокими стен-
ками равна
Ψ ( x, 0) =ψ ( x) = Asin	3π x	cos		π x	cos	π x	.	(26)
Ψ ( x, 0) =ψ ( x) = Asin		cos		l	cos		.	(26)
	2l			l		2l
Написать выражение для волновой функции частицы								Ψ ( x,t ) , найти

среднюю энергию частицы и вероятность её обнаружения в первом возбуж-

дённом состоянии. Является ли состояние частицы стационарным?

Решение. Как и при решении задачи 1, будем искать решение в виде разложения вида (25). С этой целью, пользуясь известными тригонометриче-

скими формулами


cosα cos β =		1	cos (α + β ) + cos (α − β )	(27)

2
и
sinα cos β =	1		sin (α + β ) + sin (α − β ) ,	(28)

2

преобразуем заданную волновую функцию ψ ( x ) к виду:

ψ (x ) =	A		3π x	+ sin	2π x	+ sin	π x
		sin						.

	4		l		l		l

Постоянный множитель A находим из условия нормировки:

A2 l

3π x

2π x

π x

A2 3l

1 = ∫

ψ ( x )

dx =

∫ sin

+ sin

dx =

16 2

откуда

A = 4

Здесь мы учли свойство ортогональности тригонометрических функций, со-

стоящее в том, что при любых целых значениях k и n справедливо равенст-

во:

2 l		π kx		π nx		0 k ≠ n,
	∫sin		sin		dx = δkn	= 1 k = n.	(29)
l	∫sin	l	sin	l	dx = δkn	= 1 k = n.	(29)
	0

Таким образом, функция ψ (x ) принимает следующий окончательный вид

ψ (x ) =

sin

3π x

+ sin

2π x

+ sin

π x

ψ1 ( x ) +ψ 2 (x ) +ψ 3 (x ) ,

где ψ

( x ) =

sin

π nx

- волновые функции стационарных состояний.

В силу ортонормированности волновых функций ψ n , вероятность обна-

ружения частицы в состоянии с волновой функцией ψ n

равна квадрату ко-

эффициента при ψ n . Поскольку коэффициенты разложения волновой функ-

ции ψ по волновым функциям ψ n стационарных состояний совпадают, то состояние частицы в яме представляет собой равновероятную суперпозицию основного ( n = 1) и двух первых возбужденных состояний ( n = 2, 3 ). Вероят-

ность обнаружения частицы в каждом из этих состояний одинакова и равна

P = P =	1	.	(30)

n	3

Далее, учитывая, что волновая функция стационарного состояния равна

−

E t

( x,t ) = e

n ψ

( x ) ,

где E =

π 2 2

n2 - энергия состояния,

m - масса частицы, получим оконча-

2ml 2

тельное выражение для волновой функции Ψ ( x,t ) :

−

E1t

−

E2t

−

E3t

Ψ ( x,t )

ψ1 ( x ) + e ψ 2 (x ) + e ψ 3

( x ) .

(31)

Таким образом,

при измерении энергии частицы с вероятностью 1/ 3

может быть получено одно из значений En (n = 1, 2, 3) . Поэтому среднее зна-

чение энергии равно

E =	1	(E + E + E ) =			1	π 2 2	(12	+ 22 + 32 ) =	13	π 2 2	.	(32)

3		1	2	3	3	2ml 2			3 2ml 2

Поскольку в рассматриваемом состоянии энергия частицы не имеет оп-

ределенного значения, то состояние частицы не является стационарным.

Равенства (30)-(32) дают полное решение задачи.

Задача 3. Определить результаты измерения проекции импульса Lz и

вероятности их выпадения для системы, находящейся в состоянии с волно-

вой функцией

ψ (ϕ ) = A(1 + cosϕ cos 2ϕ ),

(33)

где ϕ - азимутальный угол, A - некоторая константа.

Решение. Используя тригонометрическое тождество (27), перепишем волно-

вую функцию (33) в виде

ψ (ϕ ) = A 1 +	1	cosϕ +	1	cos 3ϕ .	(34)

	2	2

Значение постоянной A найдем из условия нормировки

	2π				2				2	2π		1					1			2
					2				2	2π		1					1			2
	∫									∫
	∫									∫			2				2
1 =			ψ			dϕ = A				1	+			cosϕ +				cos 3ϕ			dϕ =
	0									0
	2 2π						1		2		1				2				5	2
= A		∫		1		+		cos		ϕ +		cos				3ϕ dϕ =				A π .
= A				1		+		cos		ϕ +		cos				3ϕ dϕ =				A π .
							4				4								2
		0

Здесь, как и в задаче 2, мы воспользовались свойством ортогональности три-

гонометрических функций (29).

Таким образом,

A =	2	.

	5π

Далее, чтобы представить волновую функцию ψ (ϕ ) в виде разложения по

				1		i
	€	= −i ∂ / ∂ϕ ,					Lzϕ
собственным функциям оператора			имеющим вид
	Lz				e	,


				2π

используем известную формулу

cosα = eiα + e−iα , 2

Применение которой к (34) даёт

ψ =

1 +

(eiϕ + e−iϕ ) +

(ei 3ϕ + e−i 3ϕ )

ψ 0

(ψ

1 +ψ −1 ) +

(ψ 3

+ψ −3 ) .

5π

Таким образом, в результате измерения проекции импульса

может

быть получено значение

L = 0 с вероятностью

P = 4 / 5 , и значения ± и

±3 с вероятностями 1/ 20

каждое. Легко убедиться,

что сумма вероятно-

стей, как и должно быть,

равна единице.

Задача 4. В момент времени t = t0 волновая функция частицы массы m

в одномерной потенциальной яме шириной l

с бесконечно высокими стен-

ками имеет вид

ψ = Cψ1 + Cψ s ,

где C - некоторая константа; ψ1 - волновая функция основного состояния;

ψ s - равновероятная суперпозиция основного и второго возбуждённого со-

стояний.

Найти волновую функцию Ψ ( x,t ) , среднее значение энергии частицы в данном состоянии и вероятности обнаружения частицы в основном и во вто-

ром возбужденном состояниях.
Решение. Согласно условию, ψ s				есть равновероятная суперпозиция ос-
новного и второго возбужденного состояний, т.е.
ψ		=	1	(ψ		+ψ		) ,
	s				1		3

		2

где волновые функции основного ( n = 1) и второго возбужденного ( n = 3 ) со-

стояний равны соответственно

ψ1 =

sin

π x

ψ 3 =

sin

3π x

Поэтому,

1 +

ψ = C

ψ 1

ψ 3

Постоянную C найдем из условия, что вероятность нахождения части-

цы в одном из указанных в условии состояний равна единице.

В силу ортонормированности волновых функций ψ1 и ψ 3 получим:

			2
	1 +	2			1		3 + 2 2			1

1 = C 2				+		= C 2			+		= (2 + 2 )C 2 ,
1 = C 2				+		= C 2			+		= (2 + 2 )C 2 ,
		2		2			2	2

откуда

C =	1		.


	2 +
	2 +	2

Таким образом, исходная волновая функция ψ (x ) равна

1 +

π x

3π x

ψ =

ψ1

ψ 3

2 )sin

+ sin

2 + 2

l (2 + 2 )

а волновая функция Ψ ( x,t ) равна

−

E t

π x

−

E t

3π x

Ψ ( x,t ) =

(1 +

2 )e 1

sin

+ e 3 sin

l (2 +

)

где E

π 2 2

n2 , n = 1, 3 .

2ml 2

Вероятности обнаружения частицы в основном и во втором возбужден-

ном состояниях равны соответственно

P = (3 + 2

) / (4 + 2

) ≈ 0.85

P = 1/ (4 + 2

) ≈ 0.15 ,

а среднее значение энергии частицы равно

E = P E + P E =

6 +

2 π 2 2

≈ 2.17E .

1 1

3 3

2 + 2 2ml 2

3. Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. Частица массой

m находится в одномерной потенциальной

яме шириной 3a с бесконечно высокими стенками. В момент времени t = 0

волновая функция частицы имеет вид

Ψ( x,0) =ψ ( x ) = Ax (x − 2a )(x − 3a ),	0 < x < 3a,
0,	x < 0, x > 3a.

Требуется найти волновую функцию частицы Ψ ( x,t ) , возможные ре-

зультаты измерения энергии частицы и вероятности их появления, а также вероятность обнаружения частицы в основном и в двух первых возбуждён-

ных состояниях.

∞

105

(5 + 4(−1)n ) −

π nx

E t

Ответ:

Ψ ( x, t ) = ∑

e n

sin

; En

n2 ;

n=1

18ma

420

(5 + 4(−1)n )2

P =

;

P 0.4369; P 0.5529; P 0.0006 .

π 6 n6

Задача 2. Частица массой

m находится в одномерной потенциальной

яме шириной 3a с бесконечно высокими стенками. В момент времени t = 0

волновая функция частицы имеет вид

Ψ( x,0) =ψ ( x ) = Ax ( x − a )( x − 3a ),	0 < x < 3a,
0,	x < 0, x > 3a.

Требуется найти волновую функцию частицы Ψ ( x,t ) , возможные ре-

ных состояниях.

(4 + 5(−1)n )

∞ 2

105

π nx

−

Ent

Ответ: Ψ ( x, t ) =

sin

; E

P те же, что и в

∑

n=1

предыдущей задаче.

Задача 3. В момент времени t = t0

волновая функция частицы массой m

в одномерной потенциальной яме шириной l

с бесконечно высокими стен-

ками имеет вид

ψ ( x) = Asin

5π x

cos

π x

cos

π x

Суперпозицией каких состояний является данное состояние? Найти волновую функцию частицы Ψ ( x,t ) , среднюю энергию частицы, возможные результаты измерения энергии и вероятности их получения. Является ли со-

стояние частицы стационарным?

Ответ: Данное состояние является равновероятной суперпозицией основного со-

стояния и трёх первых возбуждённых состояний;

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025215.55 Кб14-Критерий Михайлова.doc
#
09.02.2015312.26 Кб1504-я задача физика.pdf
#
01.07.2025353.01 Кб14-я лекция, Гидростатика -3, отн.покой, 2017, осень.docx
#
07.11.2018176.64 Кб54.doc
#
01.07.2025654.15 Кб14.docx
#
10.02.2015268.59 Кб12406-.pdf
#
01.07.20254.74 Mб141.CDBermolenko_v_a_sostavlenie_kinematicheskih...doc
#
18.09.20192.18 Mб2142-50.doc
#
25.09.2019245.76 Кб3433713_F8181_bilety_mirovaya_ekonomika.doc
#
23.12.2018339.46 Кб7444курсовая ЛА.doc
#
16.12.20181.43 Mб15447965.doc