MA_lim_2

б.б.ф. 2 го порядка роста относительно

при

∞,

,

∞.

Выделение главной части бесконечно большой функции

Для начала выделим главную часть суммы б.б.ф.

Рассмотрим конечную

сумму бесконечно больших

функций

,

Вид главной

Выделение главной части б.б.ф.

части

0

·

1

Если lim

1

,где

0

0

·

1

1

~

·

0

·

1

Если lim

1

·

1

1

,где

0

~

·

·

Если lim∞

,где

0

∞

·

·

~

Пример 23.

Выделить главную часть б.б.ф.

2

при

∞

1

∞

∞

2

lim

lim

1

2

3

5

2

2

2

∞

∞

∞

lim

lim

lim

1

1

2

2,

2,

~

·

Следовательно

12

~ 2

при

∞

Теорема 7.

Если функция

- бесконечно малая при

, то функция

бесконечно большая

при

и наоборот:

если0

функция

есть- бесконечно большая

при

0

то

функция

есть бесконечно малая при

.

В следующих задачах 24, 25, 26 нужно для двух заданных функций

и

:

3.

а) Показать что обе функции являются б.м. или б.б. при

б) Для каждой функции

и

записать главную часть вида

·

, указать порядок малости (роста) этих функций.

в) Сравнить функции

и

, если это возможно.

Пример 24.

;

lim

limsin

sin3

0

б.м.ф.при

lim

limlog

3

log

1 0

3.

б.м.ф.при

б)

и

являются б.м.ф. при

Следовательно главную часть

этих функций будем искать в виде

·

.

Найдем числа C и k:

замена

sin

3

:

3

sin

3

lim

3

lim

3

при

3,

0

lim

sin

при

lim

sin

~

0

lim

lim

1

1,

при

0,

;

~ ·

log

3

при

замена:

log

3

3

lim

3

lim

3

3

3,

0

3

lim

log

1

log

1

~

log

log

3

3

3

lim

·

при

0

0,3

lim

1

log

3

при

3

1,

1

log ;

~

·

Значит:

3

Выделив главные части обеих функций, мы видим, что при

обе

функциив)

имеют первый порядок малости относительно б.м.ф.

3 .

Следовательно они являются б.м.ф.

одного порядка при

В

этом

3

можно убедиться и непосредственно,

вычислив предел их

отношения при

3.

3.

при

3

3

3

lim

~

3

lim

1

1

log

3

~

3

log

·

3

3log

·

3

Следовательно:

ln2

0

.

Пример 25.

при

;

√

∞

а) Докажем, что обе функции при

1

∞ являются б.б.ф.

∞

∞

sin

∞

1 sin

∞

lim

lim

lim

1

1

√

√

б.б.ф. при

∞

1

1

∞

∞

∞

∞

lim

lim

2

1

lim

1

1

2

б.б.ф.при

26

∞

.

б)

и

являются б.б.ф. при

∞

Следовательно главную часть

этих функций будем искать в виде

·

0 . при

∞

∞

sin

∞

sin

lim

lim

√

lim

1 3

2

∞

sin

∞

1

1 sin

lim

lim

1

1

1

2,

1;

~

·

~

√

Таким образом:

lim

lim

2

при

∞

1

2

1

lim

2

∞

∞

1

∞

1

1

1

1

при

∞

1

∞

1,

lim

2

lim

1

2

1

1;

~

·

~

Следовательно:

при

∞

в) Выделив главные части обеих функций,

мы видим,

что при

∞

функция

имеет второй порядок,

а функция

-

первый порядок

роста относительно б.б.ф.

.

Следовательно

имеет более высокий

порядок роста (а именно второй) по

сравнению

с

при

∞

Убедимся в этом непосредственно:

.

lim∞

lim∞

lim∞

∞

при

∞

lim

~

при

∞

lim

при

2

1 0

при

∞

∞

~

∞

Следовательно:

~

при

∞

или

при

∞

·

;

0 обе функции являются б.м.ф.

Покажем,

Вычислим

пределыа)

:

что при

lim

lim

·sin

1

по Теореме

0

б.м.ф.при

lim

limsin

0

б.м.ф.при

0.

б) Мы доказали , что

и

являются б.м.ф. при

Значит

главную часть этих функций будем искать в виде

·

Рассмотрим:

·sin1

,при

1

0 .

lim

lim

при

0,

1

это означает

,

что

–

не имеет главной части вида

·

А при

.

sin

lim

lim

при

1

1

1,

1;

~

·

28

Следовательно:

~

0

в) Сравним две функции:

при

·sin1

при

не существует

lim

lim

0

limsin1

sin

sin ~

и

не сравнимы при

.

2

7

√

1.lim

11. lim

cos

e

e

1

2.lim 2

e

√

e

12. lim

2

5

1

5

3.lim 2

cos3

e

13.lim

6

3

e

4.lim

tg

π

e

14.lim 2

3

1

4

3

5.lim

9

32

e

15.lim 1

sin 3

e

6.lim

2

1

√

e

16.lim 1

sin

e

9

7

√

cos

7.lim

e

17.lim

e

1