7. Способы оценивание точности восстановления зависимости
Рассмотрим три способа оценивания точности восстановления зависимости.
В точках ti, i = 1, 2, …, n, имеем по два значения функции - исходное xi и восстановленное x*(ti). При оценивании функции спроса это D(pi) и D*(pi) соответственно. В табл.2 и 4 приведены значения D(pi), D*(pi) и D(pi) – D*(pi). Третье из этих чисел – абсолютная погрешность. Полезно рассмотреть и относительную погрешность:
,
i
= 1, 2, …, n.
По данным табл.4 это такие числа (приведены без повторений):
.
Ясно, что из этих 10 чисел самыми большими являются шестое
девятое
и десятое
.
При
этом десятое значение находится в
области, для которой оценка спроса D*(p)
отрицательна (т.е. при цене p
= 200 руб.), а девятое - при цене p
= 180 руб., т.е. очень близко к границе p
= 186,5 руб. – перехода в отрицательную
область. Т.о., относительная погрешность
не превосходит 0,342 (34,2%) при p
170 руб. Причем, такая большая относительная
погрешность, очевидно, связана с тем,
что 30% опрошенных (15 человек) назвали
одну и ту же цену p=100
руб. Если это значение p
= 100 руб. исключить, то при остальных
значениях цены относительная погрешность
не превышает
(16,6%).
Мы рассмотрели один из наихудших вариантов, когда одна треть опрошенных назвала одну и ту же «круглую цифру» - 100. По многочисленным данным работ студентов можно утверждать, что такая ситуация встречается крайне редко.
О достигаемой точности восстановления функции свидетельствует также ширина доверительного интервала. Выше показано, что при p = 120
D*(120)верхн. – D*(120)нижн. = 2 * 0,9391 = 1,878.
Относительная погрешность такова:
|
|
=
(7,4%).
При p=165
|
|
=
= 0,386 (38,6%)
Таким образом, точность оценивания уменьшается по мере удаления от pср., особенно при увеличении p. Т.е. при приближении к области отрицательности D*(p) точность оценивания уменьшается.
Чтобы еще одним способом выявить роль погрешностей в прогностической формуле, рассмотрим формальный предельный переход, когда p→∞, тогда значения: 71,54; 1/50; 110,8 в выражении (см. выше):
D*(p)верхн./нижн.
= (-0,38362)p
+71,54
± 6,41
становятся малыми по сравнению с остальными составляющими, следовательно, ими можно пренебречь. Получаем:
D*(p)верхн./нижн
=
(-0,38362)p±
p
=
[(-0,38362)± 0,024]p.
Таким образом, относительная погрешность составляет:
|
| = 6,26%.
Итак, типовые относительные погрешности составляют 6–16%, в исключительных случаях достигают 34–38%.
Как показывает практика, в социально-экономических исследованиях метод наименьших квадратов во многих случаях позволяет получить прогноз с точностью 10-15%.
8. Часто возникающие вопросы
Далее рассмотрим наиболее часто встречающиеся вопросы студентов в связи с изучением данной темы.
8.1. Доверительные интервалы
Доверительная вероятность γ - вероятность того, что доверительный интервал накроет действительное значение параметра, оцениваемого по выборочным данным.
В математических рассуждениях в рассматриваемой методической разработке, т.е. для стандартного нормального распределения, в формулах для границ доверительного интервала используют множитель:
U(
)
= Ф-1(
).
Если
= 0,95, то
Ф-1(
)
= Ф-1(0,975)
= 1,96 = U(
),
Если γ = 0,99, то
Ф-1(
)
= Ф-1(0,995)
= 2,58 = U(
).
См. таблицы функции, обратной к функции стандартного нормального распределения.
При n → ∞ имеем асимптотическое сближение распределения x*(t) с нормальным распределением, а потому ширина асимптотического доверительного интервала равна:
2
U(
)
.
Если
выбрано
=
0,95, то это значит, что в 95% случаев условное
математическое ожидание точечного
прогнозаx*(t),
т.е. значение x(t),
будет находиться внутри доверительного
интервала и только в 5% случаев – вне
его. При γ
= 0,95
имеем U(γ)
=1,96.
Если мы хотим, чтобы в 99 случаях из 100 условное математическое ожидание попадало в рассматриваемый интервал со случайными границами, необходимо этот интервал расширить (при γ = 0,99 имеем U(γ) = 2,58). Но при этом уменьшается точность прогнозирования.
Поясним на примере. Пусть задача - прогнозирование погоды в Москве через год. Рассмотрим прогноз – температура будет от (-500С) до (+700С). Увеличили ширину доверительного интервала до 1400С, и можно утверждать, что этот прогноз сбудется с вероятностью γ = 1, т.е. надежность этого прогноза 100%. Но точность этого прогноза невелика.
Если уменьшим γ , то доверительный интервал можно сузить, при этом точность прогноза увеличится. Например, значению γ = 0,9 соответствует U(γ) = 1,64.
На основе опыта конкретных научных и прикладных работ принято в социально-экономических исследованиях использовать γ =0,95 и U(γ) = 1,96.
Рассмотрим наиболее распространенные ошибки при расчетах интервального прогноза.
1. При расчете доверительного интервала берут вместо коэффициента U(γ) величину γ и не умножают на σ* - оценку среднего квадратичного отклонения погрешности измерения. Напомним, что необходимо использовать выражение:
δ
= U(
)
.
Т.е. вместо произведения U(γ)σ* ошибочно берут просто доверительную вероятность γ .
2. Проверкой правильности вычислений можно считать равенство значений знаменателя в формуле, задающей оценку а* , т.е.
и знаменателя под корнем при расчете доверительных интервалов - тоже:
Отметим, что
=
-
Доказательство. Справедливо тождество
=
.
Поскольку
,
о
,
что и следовало доказать.