2.4. Относительное движение двух летательных аппаратов в других системах координат.

Относительное движение двух летательных аппаратов можно рассматри­вать и в других системах координат. При этом попытка получить анали­тическое решение также приводит к необходимости принятая допущения об относительной малости компонент вектора относительной даль­ности.

В частности, можно рассматривать относительное движение в орбитальной цилиндрической системе координат (ЦСК). Начало О этой системы коорди­нат (рис. 2.2) связано с центром масс пассивного ЛА, а положение актив­ного ЛА относительно пассивного характеризуется смещением вдоль дуги опорной орбиты высотным отклонением от опорного движенияи боковым отклонениемz (очевидно, что при достаточно малых значениях угла компоненты вектора относительного положе­ния в ОСК и ЦСК практически совпадают).

Рис. 2.2. Орбитальная цилиндрическая объектоцентрическая система координат.

Интересным является тот факт, что решения систем линейного прибли­жения в ОСК и ЦСК идентичны, отличаясь лишь трактовкой компонент вектора состояния. Однако при получении системы линейного приближения в ЦСК проводится разложение в ряд выражения и делается допущение о малости компонентy и z относительно R, но не при­нимается никаких ограничивающих допущений о величине компоненты х. Этот факт очень существен, поскольку во многих практических задачах рассогласование в положениях летательных аппаратов вдоль дуги опор­ной орбиты может составлять сотни и тысячи километров, т.е. может быть вполне соизмеримым с величиной R. Отсюда следует естественный и полезный вывод: допустимая область применения решения системы линейного приближения при трактовке вектора состояния в декартовой системе существенно более ограничена, и в случаях, когда рассогласование в по­ложениях летательных аппаратов вдоль дуги опорной орбиты достаточно велико, трактовка вектора состояния в цилиндрической системе позволя­ет получать результаты прогнозирования с меньшими погрешностями.

В дальнейшем мы не будем оговаривать особо, какую из систем коорди­нат мы используем, полагая, что выбор системы осуществлен в соответ­ствии с конкретными условиями решаемой задачи.

2.5. Траектория относительно опорного движения. Смещение движения.

Пользуясь свойством независимости плоского и бокового движений в решении (2.6), рассмотрим геометрию движения ЛА в плоскости опор­ной орбиты. Для этого сгруппируем члены первых двух уравнений (2.6) следующим образом:

Введем величину и заметим, что всегда можно найти такое значение некоторого углачто

Теперь уравнения (2.9), описывающие траекторию относительного движения, приводятся к виду

Выделим слагаемые:

характеризующие движение по эллипсу, и слагаемое, характеризующее движение центра эллипса параллельно оси х со скоростью

причем в начальный момент времени t = 0 центр эллипса имеет координаты

Величина полуоси эллипса вдоль оси Ох вдвое больше величины полуоси вдоль оси Оу и движение по эллипсу происходит против направления движения часовой стрелки, причем началом отсчета угла а является луч, исходящий из центра эллипса в направлении, обратном направлению оси Оу.

Центр эллипса может лежать выше и ниже опорной орбиты - его положение определяется знаком скобки который определяет и направление скорости смещения эллипса вдоль осиOx: при центр лежит выше орбиты, а скорость его смещения отрицательна, в противном случае – наоборот. Прицентр лежит на осиОx и не смещается в течении времени.

Из второго уравнения (5.21) определяются максимальные и минимальные смещения по высоте относительно опорного движения

На рис. 2.3,а изображено движение по эллипсу согласно (2.11), на рис. 2.5, б — суммарное движение в соответствии с (2.10).

Говоря об относительном движении, не будем забывать, что каждый из двух летательных аппаратов движется по кеплеровой орбите, причем опорная орбита является круговой, а другая орбита, — вообще говоря, эллиптической. Будем называть вторую орбиту возмущенной и установим связь между параметрами относительного движения и кеплеровыми эле­ментами возмущенной орбиты.

Поскольку опорное движение происходит по круговой орбите радиу­са R, можно определить перигейное и апогейное расстояния возмущен­ной орбиты, соответствующие экстремальным высотам относительного движения:

Зная возмущенной орбиты, нетрудно определить ее большую полуось

т.е. от большой полуоси опорной орбиты большая полуось возмущенной орбиты отличается наЗаметим, что

Поскольку при изменении большой полуоси орбиты на ее период в линейном приближении меняется на величину

то период возмущенной орбиты отличается от периода опорного движения на величину