Главные площадки и главные напряжения

Выражение (2) представляет собой квадратичную форму относительно направляющих косинусов. Из линейной алгебры известно, что невырожденная квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду, т.е. такому виду, когда члены с произведениями координат отсутствуют. Для нашего случая это будет означать, что существуют такие площадки, для которых коэффициенты при произведениях направляющих косинусов равны нулю:

Определение. Площадки, по которым касательные напряжения равны нулю, называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие по ним, — главными напряжениями.

Найдем главные напряжения. Допустим, что главная площадка существует и ее внешняя нормаль .

Главное напряжение по этой площадке Спроектируемна координатные оси:

Подставим это в (1) и после несложных преобразований получим

(3)

Система (3) линейна и однородна относительно направляющих косинусов. Тривиальное решение невозможно ввиду известного соотношения

Тогда для существования решения, отличного от тривиального, определитель системы (3) должен быть равен нулю:

Раскрывая определитель, получим кубическое уравнение относительно которое есть не что иное, как характеристический многочлен матрицы, составленной из компонентов тензора напряжений, а главные напряжения есть не что иное, как собственные значения этой матрицы. Характеристический многочлен выглядит так:

(4)

Коэффициенты уравнения (4) являются инвариантами напряженного состояния, т.е. скалярными величинами, независящими от выбора тех исходных трех взаимно перпендикулярных площадок, от которых мы отправляемся искать главные напряжения, они определяются следующим образом:

— линейный инвариант;

— квадратичный инвариант, равный сумме миноров элементов, стоящих на главной диагонали;

— кубический инвариант, равный определителю матрицы, составленной из компонентов тензора напряжений. Уравнение (4) имеет три действительных корня (симметричная матрица имеет только действительные собственные значения).

Корни упорядочиваются следующим образом:

где — наибольшее в данной точке напряжение, а— наименьшее.

После вычисления главных напряжений можно проверить найденные значения:

Экстремальные касательные напряжения возникают по площадкам, наклоненным к главным площадкам под углом Наибольшее из них равно(5)

Классификация напряженных состояний

В зависимости от числа ненулевых главных напряжений напряженные состояния классифицируются следующим образом:

1. Трехосные или объемные напряженные состояния — случай, когда ни одно из главных напряжений не равно нулю. Определение главных напряжений при трехосном напряженном состоянии подробно рассмотрено в предыдущем пункте.

2. Напряженное состояние называется двухосным или плоским, если только два главных напряжения отличны от нуля. В этом случае кубический инвариант равен нулю. Находим главные напряжения:

Одно из главных напряжений равно нулю, а два других определяются из решения приведенного выше квадратного уравнения. Если напряженное состояние задано напряжениями по площадкам, одна из которых, например, с внешней нормалью является той главной площадкой, по которой главное напряжение равно нулю, то тензор напряжений принимает вид

Инварианты напряженного состояния примут вид

Подставляя это в выражение для главных напряжений, получим формулу

(6)

Данная формула применима не только в случае плоского напряженного состояния, но и в случае трехосного напряженного состояния, когда известно положение одной из главных площадок. В этом случае по этой формуле определяются два других главных напряжения.

3. Если кубический и квадратичныйинварианты одновременноравны нулю, то лишь одно главное напряжение отлично от нуля. Оно называется одноосным или линейным и возникает, например, при растяжении и сжатии при чистом изгибе.

Помимо приведенной выше классификации, возможна классификация, основанная на знаках главных напряжений:

1. Трехосные растяжения, когда ни одно из главных напряжений не является сжимающим.

2. Трехосные сжатия, когда ни одно из главных напряжений не является растягивающим.

3. Смешанные напряженные состояния, когда иимеют разные знаки.