№3. Однородные уравнения. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли и Риккати.

Однородные уравнения

Функция называется однородной функцией своих аргументов степени , если справедливо тождество .

Например, функция есть однородная функция второй степени, т.к. .

При имеем функцию нулевой степени. Например, есть однородная функция нулевой степени, так как

Дифференциальное уравнение вида называется однородным относительно x и y, если есть однородная функция своих аргументов нулевой степени. Однородное уравнение всегда можно представить в виде

Вводя новую искомую функцию , уравнение (1) можно привести к уравнению с разделяющими переменными:

Если есть корень уравнения , то решение однородного уравнения будет или (прямая, проходящая через начало координат).

Замечание: при решении однородных уравнений необязательно приводить их к виду (1). Можно сразу сделать подстановку .

Уравнения, приводящиеся к однородным

А. Рассмотрим дифф. ур-е вида

Оно приводится к однородному с помощью переноса начала координат в точку пересечения прямых и . Если эти прямые не пересекаются, то ; след-но, ур-е имеет вид и приводится к ур-ю с разделяющимися переменными заменой (или .

Б. Некоторые ур-я можно привести к однородным заменой . Число обычно заранее не известно. Чтобы его найти, надо в уравнении сделать замену . Требуя, чтобы ур-е было однородным, найдём число , если это возможно. Если же этого сделать нельзя, то ур-е не приводится к однородному этим способом.

Линейные уравнения первого порядка

Так называется ур-е, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид

где и – заданные функции от , непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (2).

Если то уравнение (2) называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение

Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной, который состоит в том, что решение уравнения (2) ищется в виде

Где – новая неизвестная функция от .

Уравнение Бернулли

Имеет вид

где (при это уравнение является линейным).

С помощью замены переменной уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению и интегрируется как линейное.

Уравнение Риккати

Дифференциальное уравнение первого порядка вида

где – известные функции, называется уравнением Риккати. Если коэффициенты в уравнении Риккати постоянны, то уравнение допускает разделение переменных, и мы сразу получаем общий интеграл

Уравнение Риккати в общем случае не интегрируется в квадратурах.

Свойства уравнения Риккати:

1. Если известно какое-нибудь частное решение уравнения Риккати то его общее решение может быть получено при помощи квадратур. Для этого нужно сделать замену , подставить в ур-е (3) и всё сведётся к частному случаю ур-я Бернулли.

2. Если известны два частных решения уравнения (3), то его общий интеграл находится одной квадратурой (например, для ур-я в левой части будут члены, подобные членам правой части, если взять Подставим и найдём ).

Ссылки

Однородные ур-я и приводящиеся к однородным

Краснов/Киселев – стр. 26 Филиппов – стр. 17

Линейные ур-я первого порядка

Краснов/Киселев – стр. 32 Филиппов – стр. 20

Ур-е Бернулли

Краснов/Киселев – стр. 37

Филиппов – стр. 21

Ур-е Риккати

Краснов/Киселев – стр. 51

Филиппов – стр.22