3.4. Мкэ применительно к задаче об изгибе круглой пластинки

Расчет диска ведется методом конечных элементов (МКЭ) [9]. МКЭ позволяет избежать численного интегрирования, тем самым уменьшая погрешность вычислений, что, как следствие, приводит к повышению точности. Так же МКЭ позволяет рассчитывать диск на небольшом количестве узлов, что приводит к относительному уменьшению затрат ресурсов вычислительной машины.

Разобьем весь диск на конечные элементы. В расчетах для перехода от функции к вектору параметров проектированияиспользовалась линейная аппроксимация. Отрезокразбивается наравных интервалов, для аппроксимации управляющей функции использовались линейные функции.

Рассмотрим систему (2.24) дифференциальных уравнений первого порядка для диска. Введем обозначения

(3.23)

И интегрируя по радиусу, получим соотношения МКЭ для уравнения в перемещениях для диска:

Рассмотрим формирования матрицы системы и вектора нагрузок:

- матрица формы, где

.

Суммируя по всем конечным элементам, найдем

Обозначим

тогда можно записать

- матрица жесткости для одного элемента.

Матрица и правая часть для всей системы формулируются из икак показано на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Формирование общей матрицы системы

3.5. Мкр применительно к задаче об изгибе круглой пластинки

Замена краевой задачи начальной приводит к существенному упрощению решения. Поэтому другой удобный метод решения краевой задачи (2.24) и сопряженной системы (3.15) - метод начальных параметров, основанный на дополнении поставленных для краевой задачи граничных условий в начале участка интегрирования некоторыми параметрами, называемыми начальными [13]. Эти параметры выбираются так, чтобы полученная при этом совокупность начальных условий полностью определяла решение поставленной задачи.

Основная трудность численного решения уравнений (2.24), (3.15) заключается в том, что на основании граничных условий в начальной точке () бывают известны только некоторые начальные значения функций(в случае сопряженной системы). Остальные же должны быть определены по граничным условиям на наружном крае пластины () [12].

Пусть дана краевая задача (2.24) с граничными условиями (2.31).

Общий интеграл системы (2.24)

(3.24)

где - частное решение матричного уравнения (2.24), удовлетворяющее нулевым начальным условиям;--е частное решение соответствующего уравнению (2.24) однородного уравнения, т.е. при нулевом столбце свободных членов

,где взято из формулы (3.23),

удовлетворяющее начальным условиям:

- постоянные интегрирования.

Подстановкой полученного по (3.24) решения в условия (2.31) получают систему -х алгебраических уравнений для определения.

Например, для пластины с шарнирной опорой на внутреннем краю:

коэффициенты равны:

Найденные постоянные подставляют в (3.24), откуда находят решение исходной краевой задачи (2.24), (2.31).

Аналогично решается сопряженная задача (3.15). В ней коэффициенты для граничных условий вида:

будут равны:

Глава 4. Результаты оптимизации

4.1. Описание программы

Для реализации поставленной задачи была написана программа с использованием языка программирования СИ.

Данная программа проводит оптимизацию диска с помощью МКЭ и МКР. Способ расчета можно выбрать до начала работы программы. На вход подаются все данные о материале диска, такие как модуль упругости , коэффициент Пуассона, плотностьи температурный коэффициент; так же данные о размерах диска – внешний и внутренний радиусы и толщина; и, наконец, данные о нагрузке на диск – приложенная распределенная сила, температурный градиент и моменты. Так же в программе можно задать ограничение на минимальную и максимальную толщину диска.

Перед началом работы программы нужно задать значения управляющих параметров:

- количество узлов (точек, находящихся на равном расстоянии по всей длине диска);

и - отвечают за норму изменения толщины на каждой итерации;

- отвечает за сглаживание функции толщины диска.

- отвечает за норму отклонения получившегося напряжения в точке от допустимого напряжения.

Все эти пять параметров сильно влияют на скорость и характер сходимости алгоритма.

Алгоритм можно запустить с двумя способами останова:

1. До полной его сходимости с заданной точностью.

В этом случае количество итераций определяется программой автоматически и на выходе получается форма диска, которая в большей или меньшей степени удовлетворяет всем заданным параметрам.

2. Задать на входе количество итераций.

В этом случае программа проведет нужное количество итераций и на выходе получается форма диска, которая необязательно будет удовлетворять всем ограничениям. При таком запуске удобно смотреть текущее состояние диска и скорость сходимости. Так же, при желании можно посмотреть результаты работы алгоритма после того как оптимальная форма уже найдена (для этого необходимо задать количество итерации больше, чем необходимо для сходимости алгоритма).

После завершения работы программы можно посмотреть результаты расчетов всех требуемых параметров, напримери их графики в зависимости от.

При реализации алгоритма предполагалось, что расчет диска будет вестись только методом конечных элементов, но, после проведения первых расчетов стала ясна непригодность этого подхода. В результатах оптимизации были явно выражены биения почти всех ключевых функций. Вследствие этого пришлось отдать предпочтение менее точному на малом количестве узлов методу конечных разностей. Но увеличение количества узлов в данном случае не привело к значительному увеличению времени расчета программой, так как время одной итерации МКР значительно меньше времени одной итерации МКЭ.