2.4. Вывод формул для ограничений

Ограничения на эквивалентные напряжения из формулы (1.1) представим в виде

(2.27)

где - допускаемое напряжение на радиусе,ивыражаются из уравнений (2.5), (2.17) и (2.22):

(2.28)

При постоянных по толщине параметрах упругости и при линейном изменении температуры по толщине диска [2]:

(2.29)

где - температурные деформации на поверхности диска, (2.28) примет вид

(2.30)

2.5. Граничные условия

Задача (2.24) является краевой и состоит из четырех дифференциальных уравнений первого порядка. Следовательно, должны быть заданы четыре краевых условия: два – на внутреннем радиусе и два – на внешнем [13]:

(2.31)

где ;и- матрицы столбцы размером:,.

Например, в книге [1] предлагается задать два статических параметра на внутреннем радиусе , а на внешнем радиусе – два динамических параметра.

В примерах [2] граничными условиями определяется поперечная сила на обоих радиусах и задаются угол поворота нормали на внутреннем радиусе и момент на внешнем.

Рассмотрим отдельно разные способы опирания пластины на контуре [12]:

1. свободный край;

2. свободно опертый край;

3. жестко защемленный край.

При жестком закреплении нет угловых и линейных перемещений .

Свободное опирание (подвижная/неподвижная шарнирные опоры) исключает линейное перемещение в вертикальном направлении, но при этом возможен поворот по опертой стороне.

Способы задания граничных условий приведены в табл. 2.1.

	Таблица 2.1
Способы задания граничных условий
на внешнем радиусе на внутреннем радиусе		свободный край	свободное опирание пластины на контуре1	жестко защемленный край
свободный край
свободное опирание пластины на контуре1
жестко защемленный край

Глава 3. Алгоритм оптимизации диска методом чувствительности

3.1. Вывод вариационного уравнения

После того как получена система уравнений для расчета пластинки можно переходить к алгоритму оптимизации диска. Для удобства заменим ограничение (1.1) интегральным соотношением [6]:

(3.1)

где принято обозначение для любой функции.

Метод оптимизации заключается в оценке чувствительности функции цели к параметру управления, которым в нашей задаче является толщина диска [5]. Для реализации этого метода следует взять два похожих диска cтолщинамии. Отметим, что переход от вектора состоянияк векторуизменит операторное уравнение (2.24)

(3.2)

где

.

Тогда представим матрицу :

(3.3)

Покажем, что гдеПроизводная от всех элементов матрицыбудет равна 0, кромеРассмотрим дифференцирование этих элементов отдельно:

(3.4)

(3.5)

Теперь распишем значения ненулевых элементов матрицы с учетов:

(3.6)

(3.7)

Из (3.5) и (3.6) следует, что Аналогично получим

Таким образом, вариационная постановка задачи будет иметь следующий вид:(3.8)

Исключая из (3.8) уравнение (2.24), соответствующее начальному состоянию, получим:

или уравнение в вариациях имеет вид

(3.9)

где

(3.10)

Граничные условия из (2.31) для получим следующие

(3.11)