matan_rk

Определения

1. Окрестностью U(x) точки x называют любой интервал, содержащий эту точку.

2. ε-окрестностью точки x (при положительном ε) называют интервал (x−ε, x+ε).

3. Окрестностью точки +∞ называют интервал вида (а, +∞), где а - произвольное действительное число.

4. Окрестностью точки -∞ называют интервал вида (-∞, -а), где а - произвольное действительное число.

5. Окрестностью точки ∞ называют объединение двух бесконечных интервалов вида (-∞, -а) U (а, +∞), где а - произвольное действительное число.

6. Число a называется пределом последовательности {}, если для любого положительного ε существует номер N=N(ε) такой, что для всех номеров n≽N выполняется неравенство |-a|≺ ε.

7. Если предел числовой последовательности существует и конечен, то он называется сходящейся.

8. Числовая последовательность {} называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу. (Существуют M ϵ R и m ϵ R такие, что для любого x выполняется неравенство m≼≼M.

9. Числовая последовательность {} называется монотонной, если ≽≽...≽≽... или ≼≼...≼≼...

10. Числовая последовательность {} называется возрастающей, если ≺≺...≺≺...

11. Числовая последовательность {} называется убывающей, если ≻≻...≻≻...

12. Числовая последовательность {} называется невозрастающей, если ≽≽...≽≽...

13. Числовая последовательность {} называется неубывающей, если ≼≼...≼≼...

14. Последовательность {} называется фундаментальной, если для любого ε≻0 существует номер N=N(ε) такой, что при любых m≽N и n≽N выполняется неравенство | - |≺ ε.

15. Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

16. Пусть функция определена в проколотой окрестности U˚() точки . Число а называется пределом функции при →, если для любой последовательности {} точек из U˚(), для которой =, выполняется равенство =a.

17. Функция называется бесконечно малой при →, если =0.

18. Функция называется бесконечно большой при →, если =∞.

19. Две бесконечно малые при → функции и называются бесконечно малыми одного порядка, если =c, где с-const, c≠0, c≠∞.

20. Две бесконечно малые при → функции и называются несравнимыми, если при → не существует ни конечного, ни бесконечного предела отношения .

21. Две бесконечно малые при → функции и называются эквивалентными бесконечно малыми, если .

22. Функцию называют бесконечно малой функцией k-го порядка малости относительно функции , а число k-порядком малости, если функции и являются бесконечно малыми функциями при →.

23. Приращением функции называют

24. Функция называется непрерывной в точке , если: определена в точке и в U(), существует .

25. Функция называется непрерывной на интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

26. Функция называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна в интервале (a, b) и непрерывна в точке x=a справа и в точке x=b слева.

27. Точка называется точкой разрыва функции , если данная функция не является непрерывной в точке

28. Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если предел существует, но функция не определена в этой точке или предел не совпадает со значением функции в данной точке .

29. Точка называется точкой разрыва I рода, если - точка разрыва функции , и существуют конечные пределы .

30. Точка называется точкой разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует (в частности равен ∞).

Определение предела по Коши

Основные определения:

Тип стремления x	Окрестности
→
→
→
→∞
→-∞
→+∞

1. 

2. 

3. 

4. 

Формулировки теорем

1. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

2. Если существует и конечен , то , где - бесконечно малая при → и наоборот.

3. Если , ,..., - бесконечно малые при → функции, то ++...+ - бесконечно малая при →.

4. Если - бесконечно малая при → функция, - ограниченная функция, то* - бесконечно малая при →.

5. Если - бесконечно малая при → функция, , то - бесконечно большая при →.

Если - бесконечно большая при → функция, , то - бесконечно малая при →.

6. Бесконечно малые при → функции и эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность имеет более высокий порядок малости при → по сравнению с каждой из них.

7. Сумма бесконечно малых при→ функций различных порядков эквивалентна бесконечно малой низшего порядка.