Практикум 7. Процедурные типы.

Основной целью этого практикума является изучение процедурных типов, но задачи практикума относятся к теме приближенных вычислений и фактически продолжают материал предыдущего практикума.

Вычисление площади под кривой по методу Дарбу – Римана .

Математические основы и алгоритм решения этой задачи подробно приведены в учебно-методическом пособии [3], поэтому ниже рассмотрены лишь основные моменты. Метод получил свое название по имени известных математиков впервые предложивших его.

Пусть на интервале [a..b] определена непрерывная положительная и монотонная функция Y=f(x), как это показано на рис. 7.1. При разбиении интервала на n равных отрезков шириной dx площадь под кривой, заданной этой функцией, можно аппроксимировать суммой площадей n прямоугольников с основанием dx двояким образом. Если в качестве высоты прямоугольника выбрать меньшую ординату f(x), соответствующую правой границе отрезка, то очевидно, что такая аппроксимация даст значение искомой площади с недостатком S₁, а сама площадь получила название нижней площади Дарбу. При выборе в качестве высоты большей ординаты f(x+dx), соответствующей левой границе отрезка, аппроксимация получила название верхней площади Дарбу и даст значение искомой площади с избытком S₂.

Рис. 7.1. Площади Дарбу. Прямоугольники s₁=dx*f(x) – «малые», s₂=dx*f(x+dx) – «большие». Сумма площадей всех «малых» прямоугольников S₁=s₁ – дают нижнюю площадь Дарбу, а всех «больших» S₂=s₂ – верхнюю площадь Дарбу.

Риман показал, что точное значение искомой площади S находится между S₁ и S₂ и, что самое главное, существует предел | S₁ - S₂ | < eps(dx), где eps(dx) - сколь угодно малое число, зависящее от dx. Именно эта оценка точности и будет использоваться для приближенного вычисления площади под кривой. Наконец, поскольку в методе Дарбу-Римана рассматриваются только неотрицательные функции, площадь под кривой, по своему геометрическому смыслу, не следует полностью отождествлять с определенным интегралом.

При программировании данной задачи необходимо учитывать, что на участке, где функция монотонно убывает, формулы для расчета площади «больших» и «малых» прямоугольников должны быть инвертированы, т.е. s₁=dx*f(x+dx), s₂=dx*f(x).

Задача 7.1.

Составить программу вычисления площади под кривой, заданной функцией f(x)=sin(x) на интервале x =[0..] с точностью eps=0.0001.

Этап 1. Отладку алгоритма следует начать с основного цикла суммирования при заданном числе разбиений. После этого этапа, можно переходить к отладке внешнего цикла подбора числа разбиений для достижения требуемой точности.

Таким образом, функционально к циклу суммирования будем относить подготовительную часть и собственно цикл. Причем, поскольку число разбиений считается известным, то проще всего использовать оператор цикла «for».

Ниже приведен фрагмент программы вычисления площади под кривой y=sin(x) в диапазоне от 0 до , при числе разбиений n, равном 100.

Листинг 7.1а. Цикл суммирования при заданном числе разбиений. Функциональная часть цикла выделена курсивом.

// Заданная функция определена в разделе P&F

Function y(x : real) : real;

Begin result:=sin(x); End;

// Глобальные параметры и основная программа