3757

УДК 004.942: 621.3.082.7

КОНЕЧНО-РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИ ВОЗМУЩЕННОГО СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ SIN-GORDON ВБЛИЗИ ПЕРЕНОРМИРОВАННОГО КВАНТОВЫМИ ЗАКОРОТКАМИ ОДНОСОЛИТОННОГО РЕШЕНИЯ

Н. В. Кирпиченкова, В. Я. Кирпиченкова, К. В. Крыжановский

Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) им. М.И. Платова, Новочеркасск

wkirpich@rambler.ru

Разработаны статистически усредненные конечно-разностные схемы для нахождения усредненного численного решения основного уравнения математической модели вихревых токов в неупорядоченном S-I-S (S – сверхпроводник, I – изолятор) контакте – стохастически возмущенного (случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном I-слое) стационарного уравнения sin-Gordon вблизи односолитонного решения невозмущенного уравнения.

Ключевые слова: математическое моделирование, конечно-разностная схема, вихретоковые процессы, стохастически возмущенное стационарное уравнение sinGordon, неупорядоченный контакт, квантовые закоротки, односолитонное решение.

1. Постановка задачи

50

2. Метод стохастического усреднения конечно-разностной схемы

51

с целью нахождения его численного решения вблизи односолитонного решения невозмущенного уравнения, которое требуется для нахождения параметров джозефсоновского вихря в неупорядоченном S-I-S контакте.

Для вычисления средних sin x и x sin x , входящих в правую

часть уравнения (5), представим искомое решение с точностью до членов ~2 1 в виде:

x 0 x 1 x 2 x ,

проводимости, а 0 x дается (6).

Разложим sin x в правой части уравнения (5.1) вблизи односолитонно-

го решения (6) с точностью до членов ~2:

sin x sin 0 x 1 x 2 x sin 0 x cos 0 x 1 x cos 0 x 2 x

52

и x sin x , входящих в разностную схему (4), необходимо сначала полу-

чить интегральное представление для 1 x . Это представление для 1 x ищем из второго уравнения системы (8), которое перепишем в виде:

53

конечное при x , имеет вид (что несложно проверить непосредственным вычислением):

где «знаковая» функция sign x определяется соотношениями

1, x 0, sign x

1, x 0.

Прямым вычислением нетрудно убедиться, что функция Грина (16) удовлетворяет уравнению:

Заметим, что свойства обобщенной функции x x и её производных хорошо описаны в [5]. Отметим также, что функция Грина x,x определена соотношениями (15), (16) с точностью до решения однородного уравнения (14). То есть в качестве функции Грина может быть взята и функция

54

где С1 − произвольная константа.

С помощью функции Грина (16) решение неоднородного уравнения (12) представим в виде

Покажем теперь, что (19) действительно есть решение уравнения (12).

Для этого подействуем на левую и правую части (19) оператором Dˆx левой части уравнения (12)

Затем, учитывая, что [5]

x x x x x x ,

интеграл (22) записываем в виде:

55

x

Учитывая теперь, что при действии на некоторую функцию F x [5]

x x x F x x x Fx x ,

преобразуем интеграл (23) к виду:

Далее, дифференцируя интеграл, стоящий в квадратных скобках в (24), по верхнему пределу, получаем

Подставляя теперь (25) в (24), получаем окончательно:

x x k x sin 0 x dx k x sin 0 x .

Возвращаясь теперь к формуле (20), получаем

Dˆx 1 x k x sin 0 x

и доказываем, таким образом, что (19) действительно есть решение уравнения

(12).

ная константа C в решении однородного уравнения (14) в рассматриваемых условиях должна равняться нулю C 0 , т.е. 10 x 0.

Таким образом, получаем из (19) окончательный вид решения уравнения

(12)

x

Отметим, в частности, что

x

1 x x,x k x sin 0 x dx dx 0

на основании формулы (26).

56

Вычислим сначала

x

x 1 x x,x k x x sin 0 x dx dx.

Учитывая, что корреляционная функция

x x w x x ,

получаем

x 1 x kwsin 0 x x,x dx.

Вычисляя входящий сюда интеграл от функции Грина, получаем, отбрасывая бесконечную нефизическую константу, которая «зануляется» подходящим выбором константы С1 в (18)