3358

Рассматривая данную модификацию применительно к итерациям метода Якоби (2.12), получим

Заметим, что итерационный процесс (2.13) укладывается в общее представление (2.11), при этом

B = – (L+D)–1 R; c = (L+D)–1 b.

Точные формулировки условий сходимости методов Якоби и Зейделя можно найти в литературе по численным методам (см., например, [2, 5]). Отметим здесь лишь, что для определенного класса матриц эти методы непременно сходятся, а именно для матриц A с диагональным преобладанием, т.е. таких, для которых справедливо

n

|aii | |aij | для всех i = 1, 2, …, n.

j1, i j

Кроме того, метод Зейделя сходится для систем с симметричными положительно определенными матрицами, а это значит, что им можно решать системы общего вида (2.12), но применяя к видоизмененной форме ATAx=ATb (сходимость при этом может сильно замедляться).

Ниже приводится текст программы по реализации метода Зейделя типа (2.13). Для счёта используется система

50

>restart;

>with(linalg);

>A:=matrix([[4.,2,-1,0],[2,4,2,1],[-1,2,8,4], [0,1,4,10]]);

> b:=vector([9.,11,7,28]); # 1)

>x:=vector(4); x0:=vector(4); x:=[0.,0.,0.,0.];# 2)

>eps:=1.0e-5: n:=4: k:=0:

>r:=evalm(1.*A&*x-b);

>while sqrt(dotprod(r,r))>eps do

for i from 1 to n do s:=0.; x0[i]:=x[i]; for j from 1 to n do

if i<>j then s:=(s+A[i,j]*x[j]);fi; od; x[i]:=(b[i]-s)/A[i,i];

r[i]:=x[i]-x0[i]; od;

k:=k+1;

if k>1000 then

print(`метод не сходитсЯ`); `stop`(1); fi;

od:

> evalm(x); k;

[1.000004396, 1.999996252, -0.9999981812, 2.999999647 ]

Указание. Если в процессе счета наблюдается зацикливание (т.е. метод не сходится), рекомендуется провести аналогичный расчет для эквивалентной системы Wx=g, где W=ATA, g=ATb. Для этого между строками 1 и 2 в данной программе нужно вставить

>W:= evalm(transpose(A)&*A);

>g:= evalm(transpose(A)&*b);

а в остальном тексте программы вместо матрицы A и вектора b вставить соответственно W и g.

51

2.2.2.2. Метод сопряженных градиентов

Еще один класс методов итерационного решения СЛАУ – это так называемые методы вариационного типа. К ним относятся методы минимальных невязок, минимальных ошибок, наискорейшего спуска, сопряженных градиентов и др. Их главная особенность в том, что непосредственное решение системы подменяется решением эквивалентной экстремальной задачи.

Например, один из наиболее популярных и хорошо разработанных методов подобного типа – метод сопряженных градиентов (МСГ) – минимизирует квадратичный функционал

F(x) 12 (Ax,x) (b,x).

Можно показать, что если матрица A симметричная и положительно определенная, то вектор x, для которого F(x) достигает минимума, одновременно является решением систе-

мы Ax=b.

Приведем без вывода алгоритм МСГ.

1.Задать x(0) (начальный вектор) и число (уровень допустимых погрешностей).

2.Вычислить вектор r(0) = Ax(0) –b (невязка начального

приближения–разностьмеждулевойиправойчастьюсистемы). 3. Положить v(0) = r(0), k = 0 (номер итерации).

8.Вычислить вектор v(k+1) = r(k+1) + kv(k).

9.Положить k k+1.

10.Проверить условие ||r(k+1)||< ; если “да”, остановить счёт и вывести результаты, если “нет”, перейти к шагу 4.

52

Интересно отметить, что МСГ занимает особое положение среди методов решения СЛАУ, ибо доказано, что векторы невязок {r(k), k = 0, 1, 2, …} образуют ортогональную систему векторов, следовательно, нулевая невязка r(k) =0 (что равносильно точному решению) должна появиться не позднее n-й итерации, где n – порядок системы уравнений. Таким образом, МСГ должен быть отнесен к прямым методам. Те не менее на практике он применяется именно как итерационный метод, поскольку реальный вычислительный процесс не идеален из-за неизбежных ошибок округления, и на n-м шаге может быть не достигнута нужная точность. Кроме того, для систем большой размерности для получения решения с приемлемой точностью может понадобиться значительно меньшее, чем n, число итераций. Поэтому в силу указанных обстоятельств к МСГ иногда употребляют термин «полуитерационный метод».

Запрограммируем алгоритм МСГ в системе Maple (на примере той же системы, что была решена методом Зейделя).

>restart;

>with(linalg);

>A:=matrix([[4.,2,-1,0],[2,4,2,1],[-1,2,8,4], [0,1,4,10]]);

>b:=vector([9.,11,7,28]); r:=vector(4):

>x:=eval(b): eps:=0.0001: k:=0:

>r:=evalm(A&*x-b); v:=eval(r); t1:=dotprod(r,r);

>while sqrt(t1)>eps do

alpha:=-evalf(dotprod(r,v)/dotprod(A&*v,v)); x:=evalm(x+alpha*v): print(eval(x)); t2:=t1; r:=evalm(A&*x-b); t1:=dotprod(r,r); beta:=t1/t2;

v:=evalm(r+beta*v);

k:=k+1;

if k>1000 then print(`метод не сходитсЯ`); `stop`(1); fi;

od:

> eval(x); k;

[1.000000001, 2.000000000, -1.000000006, 2.999999991 ]

4

53

Замечание. Для успешной работы программы необходимо отслеживать, чтобы все вычисления проводились в числовом формате (а не в символьном). Прямым указанием на такой режим счёта, как обычно, является явная запись чисел с точкой. Обратите внимание, что здесь так записаны по одному элементу матрицы A и вектора b. В качестве дополнительной меры можно рекомендовать видоизменить команды вычисления r:

r:=evalm(1.0*A&*x-b);

а также все вычисления производить посредством evalf. Если матрица системы не симметричная и не положи-

тельно определенная, сходимость МСГ не гарантируется. В этом случае предлагается применить алгоритм метода сопряженных градиентов к эквивалентной системе ATAx=ATb, у которой матрица W=ATA обладает необходимыми свойствами. Скорость сходимости при этом может быть низкой. Для реализации этого алгоритма в приведенной программе сразу после задания матрицы A и вектора b следует вставить команды

>W:=evalm(inverse(A)&*A);

>g:=evalm(inverse(A)&*b);

а далее по тексту везде поменять символ A на символ W, а символ b – на g.

Упражнения

1. В качестве A, b взять матрицу и вектор правых частей системы уравнений из таблицы; B задать произвольно.

2. а) Вычислить определитель матрицы A, её ранг, обратную матрицу, транспонированную матрицу, а также миноры элементов какой-либо строки (столбца) данной матрицы.

б) Используя встроенную функцию norm, определить норму вектора b и матрицы A, а также число обусловленности A в различных смыслах. Провести вычисление указанных величин непосредственным применением формул.

54

3. а) Вычислить след матриц AB и BA.

б) Ввести прямоугольную матрицу C подходящего размера и найти ATBA, AC, BAC, (AB)C, bTAb.

4. а) Решить задачу на собственные векторы и собственные значения матрицы A. Сделать проверку.

б) Решить обобщенную задачу на собственные значения

Ax= Bx.

5. Решить систему Ax=b уравнений: по правилу Крамера и путем вычисления обратной матрицы. Выполнить проверку.

6. а) Решить систему Ax=b с помощью программы, реализующей метод Гаусса с выбором главного элемента. Попутно найти определитель матрицы detA и выписать явно матрицы L и U. Проверить равенство A = LU.

б) Используя LU-разложение, найти решение матричного уравнения AX=B. Проверить результат подстановкой.

в) На основе LU-разложения вычислить матрицу, обратную к A. Проверить равенство A–1A=E.

7. а) Получить разложение Холесского симметричной положительно определенной матрицы W=ATA. На основе это-

го разложения решить систему Wx=ATb (и/или уравнение

WX=ATB).

б) Задать матрицу S, элементы которой sij представляют собой скалярные произведения векторов: sij (xi,xj ), где x1,

x2, … – произвольные линейно независимые ненулевые векторы одинаковой размерности. Убедившись в положительной определенности S, решить систему Sx=b методом Холесского.

8. а) Ввести три произвольных некомпланарных вектора x1, x2, x3 трехмерного евклидова пространства. Найти смешанное ([x1, x2], x3) и двойное векторное произведение [x1, [x2, x3]] этих векторов. Вычислить углы, которые векторы образуют друг с другом, а также угол между x1 и плоскостью x2x3.

б) К уже введенным в № 8а векторам добавить еще один вектор x4, который разложить по базису =(x1, x2, x3).

55

9. Применить один из итерационных методов (простой итерации, Якоби, Гаусса–Зейделя) к решению системы из таблицы. В случае отсутствия сходимости добиться диагонального преобладания путем комбинирования уравнений, либо применить метод к эквивалентной системе ATAx=ATb.

56

57

11*. Написать программу, реализующую:

а) метод AAT-минимальных итераций (А произвольная матрица; минимизируется квадрат евклидовой нормы ошибки).

Инициализация: x0 – произвольно, r0 Ax0 b, s1 AT r0 ;

58

б) метод ATA-минимальных итераций (А произвольная матрица; минимизируется квадрат евклидовой нормы вектора невязки). Алгоритм счета такой же, как в предыдущем методе, но с числами

12*. Пусть Ax=b решаемая система. Применить метод сопряженных градиентов к эквивалентной системе (L–1AL–T)u=g, где u=LTx, g=L–1b, L – предообусловленная, например, диагональная с элементами lii aii , матрица. Ис-

следовать обусловленность старой и новой систем.

13*. Найти общее решение и фундаментальную систему решений для систем уравнений

59