Дифференциальная геометрия. Приложения к механике. Зайцева М.И., Макаров В.Н

ВВЕДЕНИЕ

Мы встречались с геометрией уже несколько раз, начиная со средней школы. Школьная геометрия изучает различные метрические свойства простейших геометрических фигур. В основном, находились соотношения между длинами сторон и углами треугольников многоугольников. Иногда вычислялись на базе этого площади, поверхности и объемы некоторых тел.

Центральными понятиями, на которых строилась геометрия, были: длина отрезка на прямой или кривой (длина окружности), а также угол между двумя пересекающимися линиями

– прямыми или кривыми.

Основной целью аналитической геометрии является описание геометрических фигур при помощи уравнений в декартовой системе координат на плоскости или в трехмерном пространстве. Например, эллипс на плоскости описывается уравнением:

Таким образом, аналитическая геометрия использует метод координат, но предмет геометрии остается тем же, что и в школе.

Также и дифференциальная геометрия – ее предмет остается прежним, но дополнительно в ней используются средства как аналитической геометрии, так и дифференциального исчисления и линейной алгебры.

1. Вектор-функция скалярного аргумента.

1.1. Определение.

Во многих задачах приходиться рассматривать переменные векторы, т.е. векторы, у которых изменена или длина или направление, или и то другое одновременно.

4

Пример 1. Радиус – вектор точки, движущейся по окружности (рис. 1а). При этом

r(t) const ,

но изменяется направление.

Пример 2 Радиус – вектор точки, движущейся по эллипсу (рис. 1б). В этом радиус – вектор изменяет как длину, так и направление.

y

Определение. Если каждому значению скалярной величины t из некоторого множества T поставлен в соответствие

координат, то при изменении t конец радиус-вектора опишет некоторую кривую, которая называется годографом (рис.2).

Радиус-вектор r точки Р, движущейся в пространстве, ее

скорость V , ускорение W являются, очевидно, векторфункциями времени t (рис.3).

Годографом радиус-вектора r движущейся точки будет траектории этой точки.

5

(возможны бесконечные пределы).

1.3. Свойства пределов для вектор-функций

Для пределов вектор-функций справедливы следующие свойства:

Докажем 1.

7

ta

Всилу свойства 1 из равенства (3) следует, что

8

ta

Вданном случае справедливо и обратное утверждение: из

(1.4) следует (1.3).

lim x2 y2 z2 0 x 0, y 0, z 0 при t a

t a

и, следовательно в силу I справедливо (3). Таким образом равенство (1.3) эквивалентно равенству (1.4).

2. Рассмотрим теперь равенство

Положив r R w , получаем, что равенство (1.5) имеет место

9

Если совместить начало векторов r и R (рис.4), то из ра-

венства (6) для случая R 0 видно, что при t a вектор r и по длине и по направлению неограниченно приближается к

вектору R .

1.4. Свойства непрерывности вектор-функции.

Вектор-функция (1.1) непрерывна, если непрерывны ее

чению в предельной точке).

Запишем условие непрерывности в другой форме. Дадим переменной t приращение t . Тогда функции x, y, z получат

10

Если считать, что начало вектора r все время совпадает с точкой 0, то r будет вектором, который соединяет точки годографа, отвечающие векторам r t и r t t (рис 5).

r

r t

О

Рис.5.

Для непрерывной вектор-функции мы при этом получаем

т.е. приращение непрерывной вектор-функции стремится к 0, если t 0 .

1.5. Свойства дифференцируемой вектор-функции.

Для дифференцируемой вектор-функции существует пре-

дел (см.1.8)

11

менно. Наличие предела (1.9) в этом случае означает, что век-

12