3132
.pdfНаличие удвоенных и суммарных частот объясняет, почему спектр процесса расширяется именно до 2Fmax, а равное единице первое слагаемое указывает на неизбежное появление на выходе ненулевой постоянной составляющей, порождающей дельта-функцию на нулевой частоте.
4.2. Амплитудное и фазовое детектирование узкополосных нормальных случайных процессов
4.2.1. Понятие огибающей и фазы случайного процесса. Особенности использования преобразователя Гильберта для формирования ортогональной компоненты СП
Как уже говорилось в п. 2.5.6, узкополосными называют СП, центральная частота спектра которых существенно превышает их ширину, а реализации представляют собой квазигармонические колебания
(t) A(t) cos (t) A(t) cos 0t (t) . |
(4.25) |
При выполнении условия узкополосности закон изменения амплитуды сигнала определяет медленная функция времени A(t) , называемая огибающей СП, а правило изменения во времени фазы (t) называют полной фазой процесса.
Если ввести в рассмотрение вспомогательный процесс
(t) A(t) sin (t) A(t) sin 0t (t) , |
(4.26) |
то для расчета огибающей и полной фазы окажутся справедливыми правила
A(t) 2 (t) 2 (t) , (4.27)
(t) arctg (t) . (4.28)
(t)
80
Ряд свойств определяемой правилом (4.27) огибающей A(t) можно получить, даже не конкретизируя правило фор-
мирования вспомогательного СП. Для этого запишем подробнее производную огибающей СП
A (t) |
2 (t) (t) 2 (t) |
(t) |
|
(t) (t) (t) (t) |
||
|
|
|
A(t) |
|||
2 2 (t) 2 (t) |
||||||
|
|
и отметим тот факт, что в моменты времени, когда (t) 0 , неравенство
A(t) |
2 (t) 2 (t) |
|
(t) |
|
(4.29) |
||||||
|
|
||||||||||
превращается в равенство, и при этом |
|
|
|||||||||
|
A (t) |
|
|
|
(t) |
|
. |
|
|
(4.30) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учет знаков производной и самого процесса показывает, что функция A(t) действительно огибает пиковые значения процесса
(t) и в точках соприкосновения скользит по касательной относительно реализаций (t) .
Свойствами (4.29), (4.30) огибающая (4.27) будет обладать независимо от способа формирования вспомогательного процесса (t) . Если же в соответствии с [4, 8, 11] формировать(t) как результат преобразования Гильберта (см. прил. 6), то анализ статистических характеристик огибающей заметно упрощается, поскольку сопряженный по Гильберту с исходным СП приобретает ряд интересных особенностей.
Во-первых, поскольку преобразователь Гильберта является фазовращателем и не изменяет интенсивности спектральных составляющих, то спектральные плотности мощности процессов на его входе и выходе останутся совпадающими. В соответствии с теоремой Винера-Хинчина (см. п. 2.3) это означает совпадение и дисперсий, и корреляционных функций этих процессов
81
D D , |
B ( ) |
B ( ) . |
|
|
(4.31) |
|
Для получения второго свойства следует проанализиро- |
||||||
вать взаимнокорреляционную функцию процессов (t) |
и (t) |
|||||
B ( ) m1 (t) (t ) m1 |
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
(t) |
|
dx |
|
|||
(t x) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Изменяя порядок суммирования (т.е. перенося операцию усреднения по ансамблю реализаций внутрь интеграла), и учитывая,
что m1 (t) (x) B (t x) , запишем
|
|
B (t x) |
|
|
B ( ) |
|
|
|
|
B ( ) |
|
|
dx |
|
|
d Hilb |
B ( ) , |
||
|
|
|
|
||||||
|
|
(t x) |
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. функция B ( ) с точностью до знака может быть рассчитана как преобразование Гильберта от B ( ) , а взаимная спектральная плотность мощности по правилу
|
|
|
|
|
|
|
S () |
S () Kг () . |
|
|
|
(4.32) |
|||||
|
|
|
Представим взаимнокорреляционную функцию B ( ) как |
||||||||||||||
результат обратного преобразования Фурье от S () |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
j |
0 |
|
|
|
|
B ( ) |
2 |
|
S ( )K |
( )e j d |
2 |
|
S ( )e j d |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
S ( )e j d |
|
1 |
S ( )e j d |
1 |
S ( )e j d . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 j |
|
|
|
|
2 j |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
С учётом четности спектральной плотности мощности несложно заметить, что косинусные компоненты двух интегралов будут компенсировать друг друга, а синусные – дополнять
|
|
e j |
e j |
|
|
B ( ) |
S ( ) |
|
|
d S ( )sin( )d . (4.33) |
|
2 j |
|||||
0 |
|
0 |
|||
|
|
|
82
Из (4.33) следует, что в совпадающие моменты времени, т.е. при 0 процессы на входе и выходе преобразователя Гильберта являются некоррелированными.
4.2.2. Амплитудное и фазовое детектирование нормального шума
Для выделения огибающей и фазы случайных процессов используют амплитудный и фазовый детекторы. Идеальным амплитудным детектором называют устройство, которое в ответ на воздействие узкополосного СП ξ(t) формирует на своем выходе его огибающую A(t). Напряжение на выходе идеального фазового детектора, формируемое в ответ на воздействие узкополосного СП ξ(t), определяется набегом фазы, т.е. пропорционально Δφ(t) = Θ(t) – 2π·f0·t. Устройствами, реализующими операции детектирования, могут служить амплитудный коллекторный детектор [6, c. 295-296], диодный детектор [6, c. 297], фазовый диодный детектор [6, c. 298-299] и другие устройства.
Для определения характеристик процессов, возникающих при детектировании нормального шума, обратим внимание на то, что:
а) процесс (t) , возникающий на выходе линейного преобразователя Гильберта в ответ на нормальное входное воздействие (t) , обязан также иметь нормальное распределение;
б) согласно (4.33) значения этих процессов в совпадающие моменты некоррелированы, что при нормальном законе распределения означает их независимость;
в) из равенства дисперсий этих процессов (см. (4.31)) следует, что совпадают и эффективные значения этих процес-
сов ;
г) наконец, мгновенные (т.е. соответствующее конкретному моменту времени t) значения огибающей и фазы формируются в соответствии с (4.27) и (4.28) из мгновенных значений самого СП (t) и процесса (t) , сопряженного с ним по Гильберту.
83
Таким образом, расчет характеристик огибающей A(t) и фазы (t) фактически не отличается от определения свойств полярных координат точки, декартовы координаты которой подчиняются нормальному распределению. Используя результаты анализа из [1, c. 160-161], зафиксируем, что совместная двумерная плотность вероятности огибающей и фазы будет подчинятся соотношению
WA (r,) r W (r cos , r sin ), r0, , (4.34)
Из (4.34) по аналогии с [1, (6.49), (6.50)] можно установить: 1. Для нормального случайного процесса (t) с нулевым средним значением огибающая имеет релеевский закон распределения с параметром σ, равным эффективному значению воздействия
WA (x) x2
|
|
x2 |
|
|
|
|
exp |
|
|
|
, |
x 0 . |
(4.35) |
2 |
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
При этом, в соответствии со свойствами распределения Релея
M A |
|
|
|
|
1, 25 , |
(4.36) |
|
|
|
|
|||||
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
2 |
2 |
|
|
2 |
(4.37) |
||
DA |
2 |
0,43 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Фаза нормального случайного процесса (t) |
с нулевым сред- |
||||||
ним имеет равномерный в пределах от минус π |
до плюс π за- |
||||||
кон распределения. |
|
|
|
|
|
|
|
4.2.3. Амплитудное и фазовое детектирование смеси нормального шума и гармонического сигнала
Пусть теперь детектированию подвергается смесь детерминированного гармонического сигнала и узкополосного нормального шума
(t) U0 cos( 0t 0 ) (t) , |
(4.38) |
84
где U0, ω0 и ψ0 – некоторые константы. Смесь шума с детерминированным сигналом также будет подчиняться нормальному распределению, однако процесс (t) уже не будет ста-
ционарным; его математическое ожидание будет изменяться во времени в соответствии с детерминированной компонентой
m1 |
(t) |
U0 cos( 0t 0 ) . |
(4.39) |
|
|
|
|
|
|
Ортогональный к исходному процесс г (t) , формируемый на
выходе преобразователя Гильберта, будет также состоять из двух компонент: детерминированного сигнала (см. (П6.4))
m1 г |
(t) |
U0 sin( 0t 0 ) . |
(4.40) |
|
|
|
|
и нормального шума |
г (t) некоррелированного и независимого |
||
по отношению к исходной шумовой компоненте (t) . |
|
||
Факт взаимной независимости нормальных компонент, |
|||
входящих (4.27), (4.28) позволяет записать для смеси соотноше- |
ние (4.34) в виде
WA (r, ) r |
|
1 |
|
|
|
[r cos U0 cos(0t 0 )]2 |
|
|
||
|
|
|
exp |
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
2 |
||||||
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
[r sin U0 sin(0t 0 )]2 |
|
|
||
|
|
|
exp |
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
2 |
||||||
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
r2 U02 |
exp |
rU0 cos( (0t 0 )) |
. (4.41) |
|||
|
|
exp |
|
|
|
|
|
||||
2 |
2 |
2 |
2 |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для выделения из (4.41) сведений, относящихся к огибающей
процесса, проинтегрируем WA (r, ) |
|
по всем возможным зна- |
|||||||||||
чениям фазы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
r2 U02 |
|
exp |
rU0 cos |
d |
||||
WA (r) WA (r, ) d |
|
|
exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь введено обозначение
85
( 0t 0 ) |
(4.42) |
для разности между потенциально возможным значением фазы и полной фазой детерминированной компоненты сигнала в момент времени t, а также обозначение ( 0t 0 ) для упро-
щения записи подлежащего интегрированию диапазона углов. Для завершения расчетов используем табличный интеграл
1 |
|
|
|
|
|
|
exp m cos x dx |
I0 (m) , |
(4.43) |
2 |
||||
|
|
где I0 () – модифицированная функция Бесселя нулевого по-
рядка первого рода (функция Бесселя для мнимого аргумента). В итоге, плотность вероятности огибающей смеси гармонического сигнала с амплитудой U0 и нормального шума с
эффективным значением σ имеет вид
|
(r) |
r |
|
|
|
r2 U02 |
I0 |
|
rU0 |
, |
r 0 . |
|
|||
WA |
|
|
exp |
|
|
|
|
|
(4.44) |
||||||
|
2 |
2 |
2 |
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это распределение называется обобщенным законом распределения Релея или законом Релея-Райса, а краткую таблицу значений модифицированной функции Бесселя можно найти в прил. 3.
Математическое ожидание распределения Релея-Райса равно
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
h |
|
h |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
I |
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
, |
|||||
M |
A |
|
|
|
I |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где отношение сигнал-шум |
h2 |
0,5 U2 |
|
2 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
(4.45)
(4.46)
Расчет отклика на смесь сигнала и шума фазового детектора, формирующего на своем выходе набег фазы Δφ(t), потребует расчета интеграла
|
|
r |
|
|
|
U02 r2 2rU0 cos |
||
W ( ) WA (r, ) dr |
|
|
exp |
|
|
|
dr . |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
86
Добавлением в показатель экспоненты двух противополож-
ных по знаку слагаемых |
(U |
0 |
cos )2 |
этот интеграл можно |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
преобразовать к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
U02 (1 cos2 ) |
|
|
|
r |
|
|
|
(r U0 cos )2 |
|
|||||||||||||
W ( ) exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp |
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|||
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
02 sin2 ) |
|
|
|
|
(z U0 cos ) |
|
|
|
|
r2 |
|
|
||||||||
|
exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp |
|
|
|
|
|
dr . |
||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
U0 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончательно, для фазы смеси гармонического сигнала с нормальным шумом получаем плотность вероятности
|
|
1 |
|
|
U02 |
|
|
Fст |
2 |
|
U02 |
|
, |
|
|||||
W ( ) |
|
|
exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
exp |
|
|
|
|
|
(4.47) |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
где |
U0 |
|
сos |
U0 |
|
сos (0t 0 ) . |
(4.48) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
WA (r) |
U0 |
0 |
|
|
|
W ( ) |
U0 |
|
||
|
|
|
U0 |
|
||||||
|
|
|
|
U0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
U0 0 |
U0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
U0 r |
|
–π |
0t 0 φ |
Рис. 4.7. Вероятностные характеристики процессов на выходе амплитудного и фазового детекторов
Итак, при близких к нулю отношениях сигнал-шум распределение огибающей смеси гармонического сигнала с нормальным шумом оказывается близким к релеевскому, а распределение фазы почти не отличается от равномерного. Однако, по мере роста интенсивности сигнала на выходе амплитудного детектора возрастает вероятность наблюдения значений близких к U0, а на выходе фазового детектора, регистрирующего набег
87
фазы, т.е. её отклонение от линейной компоненты 0t , наиболее
вероятные значения будут концентрироваться в небольшой окрестности истинного значения 0 .
Отметим, что при использовании аппроксимации
I0 (x) |
|
ex |
|
1 |
1 |
|
|
, x 0 , |
(4.49) |
|
|
|
|
|
|||||||
2 x |
8x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
распределение Релея-Райса может быть представлено в виде
|
(r) |
|
1 |
|
|
|
(r U0 )2 |
|
r |
, r 0, U0 |
. (4.50) |
|||
WA |
|
|
|
exp |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|||||||||
2 |
U0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. характер случайного отклика амплитудного детектора незначительно отличается от нормального с параметрами a U0 ,
A .
Взавершение, проанализируем возможность использования амплитудного детектора для обнаружения гармонического сигнала на фоне узкополосного нормального шума. Поскольку мгновенные значения огибающей на выходе детектора как при воздействии на его вход лишь шума, так и при наличии сигнала являются случайными, то в качестве контролируемой величины будем рассматривать среднее значение отклика детектора на протяженном интервале времени.
При отсутствии полезного сигнала это среднее значение будет совпадать с математическим ожиданием распределения Релея
M A |U0 0 |
|
|
. |
(4.51) |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
Для смеси шума с мощным гармоническим колебанием при расчете математического ожидания будем руководствоваться (4.45), (4.46), аппроксимацией (4.49) и соотношением
I1 (x) |
|
ex |
|
1 |
3 |
|
|
, x 0 . |
(4.52) |
|
|
|
|
|
|||||||
2 x |
8x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
88
Подставляя (4.49), (4.53) в (4.45), получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
e |
0,5h2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
M A |U0 |
|
= |
|
|
e 0,5h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
h |
4h |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
e0,5h2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
e0,5h2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
h |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 h . |
(4.53) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
h |
4h |
h |
4h |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, для больших отношений сигнал-шум имеем
M A |U0 |
|
|
2 |
|
h , |
(4.54) |
||
|
|
|
|
|
||||
M A |U0 0 |
|
|||||||
|
|
|
|
т.е. величина отклика детектора на мощное гармоническое воздействие возрастает прямо пропорционально отношению сиг- нал-шум.
Если же амплитуда гармонического колебания будет мала, то при расчете математического ожидания можно считать
при x 0 : |
I0 (x) 1, |
I1(x) x / 2 , |
e x |
1 x , |
(4.55) |
|||||||||||
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
0,5h2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
M A |U0 0 |
|
2 |
e |
|
|
|
1 |
h |
|
1 |
|
|
, |
(4.56) |
||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||
а значит для малых отношений сигнал-шум |
|
|
||||||||||||||
|
M A |U0 |
0 |
|
|
1 |
h2 |
|
, |
h 1. |
|
|
|
(4.57) |
|||
|
M A |U0 0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая особенности квадратичной зависимости, можно отметить, что при h 1 наличие гармонической компоненты в смеси с шумом почти не влияет на величину отклика детектора. Т.е. при амплитудном детектировании слабые сигналы подавляются помехой.
89