3034

одновременно не один уровень третьего и следующих факторов не встречались вместе по всей таблиц более одного раза. Таким образом, избежать большого объема экспериментальных исследований можно лишь в том случае, если спланировать сочетания различных факторов так, чтобы при минимальном числе опытов наиболее равномерно охватить всю площадь таблицы возможных сочетаний влияющих факторов.

Рис. 8.2. Латинские квадраты двухфактоного (а) и трехфактрного (б) экспериментов

Планирование экстремальных экспериментов. Наиболее широко используют планы экстремального эксперимента, позволяющие описать модель с помощью полинома и оптимизировать исследуемый объект. Эти планы представляют собой систему опытов, содержащую возможные неповторяющиеся комбинации выбранных факторов при заданных уровнях их варьирования. Метод позволяет изучать влияние многих факторов на исследуемый процесс в некоторой области факторного пространства, лежащего в окрестности выбранной точки с координатами (Z01, Z02,…, Z0n). Полученный полином k-й степени (функция отклика) для математического описания процесса можно использовать также для его оптимизации, т.е.

121

определять параметры, при которых явление или процесс будет протекать наиболее эффективно.

Экстремальный эксперимент основан на том, что исследуемую непрерывную функцию y = f (Z1, Z2,…, Zn), имеющую все производные в заданной точке с координатами Z01, Z02,…, Z0n, можно разложить в ряд Тейлора:

(8.6)

где β0 – значение функции отклика в начале координат Z01,

Z02,…, Z0n;

(8.7)

Ряд Тейлора аналогичен уравнению регрессии:

(8.8)

где a0, ai, aij, aii – коэффициенты регрессии;

хi – кодированная переменная, введенная в целях упрощения арифметических расчетов и равная

хi= (zi– z0i) /Δ zi; zi= (zimax– zimin) / 2; z0i=(zimax+ zimin) / 2.

Следовательно, хi является относительной величиной, максимальному значению zimax соответствует хi= +1, а минимальному zimin соответствует хi= –1.

Коэффициенты регрессии уравнения (8.8) вычисляют методами математической статистики и представляют они собой приближенную оценку коэффициентов β0, βi, βj и т.д. в уравнении (8.6), поэтому уравнение (8.8) описывает исследуемый объект только с определенной степенью точности.

Уравнение (8.8) широко используется для получения математической модели объектов исследования, хотя оно и не содержит информации о механизме явлений и его физикохимических свойствах. В математической теории эксперимента

122

разработаны оптимальные планы получения уравнения типа (8.8). Определение коэффициентов регрессии и анализ уравнения производят с помощью ЭВМ.

Планы оптимального эксперимента реализуются в такой последовательности (рис. 8.1):

–оценка информации и определение n факторов, наиболее существенных для исследуемого процесса;

–использование математической модели в виде линейной функции отклика;

–анализ выбранной модели;

–нахождение экстремума в области n-мерного фактора пространства путем использования полинома k-й степени;

–если модель неадекватна, то в качестве модели выбирают полиномы более высокого порядка.

Планирование экстремального эксперимента с целью описания исследуемого объекта. Планирование эксперимента начинается со сбора, изучения и анализа имеющих данных об объекте. В результате определяют выходной параметр у и входные – zi. Выходной параметр (переменная состояния объекта) должен иметь количественную характеристику, т.е. измеряться с достаточной степенью точности и однозначно характеризовать объект исследования. Входные параметры zi должны иметь границы изменения (zimax–zmin), причем при различных комбинациях факторов zi переменная состояния объекта у не должна выходить из области допустимых значений. Между фактором zi и значение у необходимо однозначное соответствие. Факторы zi между собой взаимно независимы. В целях упрощения вычислений удобно пользоваться относительными переменными хi, zi, z0i. Значениям zimax и zimin соответствует

хi=+1 и хi=–1.

Среди планов экстремального эксперимента наиболее простыми являются планы полного факторного эксперимента (ПФЭ), в случае реализации которых определяется значение параметров состояния объекта у при всех возможных сочетания

123

уровней варьирования их факторов zi. Если мы имеем дело с n- факторами, каждый из которых устанавливается на q уровнях, то для того, чтобы осуществить полный факторный эксперимент, необходимо поставить m = qn опытов. С увеличением q резко возрастает количество опытов, поэтому если q > 2, планы ПФЭ редко используются. Наибольшее распространение получили планы типа 2n.

Рассмотрим пример. Допустим, что необходимо исследовать явление в зависимости от изменения двух факторов z1 и z2 методом полного двухфакторного эксперимента. Предположим, что явление описывается линейным полиномом, т.е. поверхность отклика представляет собой плоскость, характеризуемую полиномом:

Чтобы построить поверхность отклика в виде плоскости, достаточно провести четыре опыта. Наиболее удобно выбранные факторы варьировать на верхнем и нижнем уровнях, что соответствует хi = +1 и хi = –1. Для удобства планирования эксперимента составляют план-матрицу (табл. 8.1) двухфакторного эксперимента, в соответствии с которым и проводят исследования.

Таблица 8.1 План-матрица двухфакторного эксперимента

Первый опыт проводят при минимальных значениях факторов z1 и z2, четвертый – при максимальных значениях z1 и z2, второй при минимальном значении z2 и максимальном z1, а третий – наоборот.

Как следует из табл. 8.1, принцип построения матриц планирования полного факторного эксперимента заключается в

124

том, что уровни варьирования первого фактора чередуются от опыта к опыту, частота смены уровней каждого последующего фактора вдвое меньше, чем у предыдущего. У последнего уровня факторы изменяются всего два раза.

Матрица планирования полного факторного эксперимента в этом случае обладает следующими свойствами:

(8.10)

где m – число опытов полного факторного эксперимента; j – номер опыта;

i и n – номер факторов.

Свойство, выраженное уравнениями (8.10), называется ортогональностью, а матрица – ортогональной. Это свойство обеспечивает относительную простоту вычисления коэффициентов регрессии, которые определяют по формулам:

(8.11)

Формулы (8.11) справедливы только при вычислении коэффициентов линейного полинома. В самом же общем виде коэффициенты регрессии вычисляют с помощью многочленов Чебышева, обеспечивающих минимум суммы квадратов отклонений.

Некоторые из коэффициентов уравнения регрессии могут оказаться незначительными, т.е. пренебрежимо малыми. Коэффициент регрессии значим и им пренебрегать нельзя, если:

|а| ≥ Дa × t, (8.12)

где t – критерий Стьюдента;

Дa – дисперсия при определении регрессии здесь:

Дa= Дy/m , здесь Дy – дисперсия среднего значения фактора. Полученные таким образом уравнения линейной регрессии проверяют по условию адекватности (например, по крите-

рию Фишера).

125

При большом числе факторов, в случае линейного полинома, для нахождения коэффициентов регрессии, используя метод дробного факторного эксперимента (ДФЭ), можно уменьшить количество опытов, реализовав лишь часть матрицы полного факторного эксперимента (например, 1/2 или 1/4 часть).

Если же экспериментальные данные не согласуются с линейной моделью, то исследуемый процесс стремятся описать поверхностью второго порядка, а двухуровневого варьирования факторов хi в этом случае недостаточно. При использовании ПФЭ типа 3n резко возрастает количество опытов, план становится трудоемким, а формулы – громоздкими.

В этом случае проще использовать центральные композиционные планы (ЦКП), которые можно получить из планов типа 2n. Для этого к реализованному плану линейного полинома добавляют опыты в промежуточных (звездных) точках и в центре плана.

Более точными планами по сравнению с ортогональными являются ротабельные планы, что достигается благодаря увеличению количества опытов в центре плана и случайному выбору так называемого звездного плеча. Существуют и другие виды планов, изданы даже специальные каталоги планов эксперимента, в которых проводится сравнительная их оценка, и даются рекомендации по выбору применительно к конкретным условиям эксперимента.

Оптимизация технологических процессов с использованием планирования эксперимента. Важное место в теории плани-

рования эксперимента занимают вопросы оптимизации исследуемых процессов и многокомпонентных систем, наибольшая эффективность которых, достигается только в оптимальных условиях, характеризующихся экстремальными значениями уi.

Оптимизация процесса представляет собой целенаправленный поиск значений влияющих факторов, при которых достигается экстремум критерия оптимальности. Оптимизацию процессов обычно осуществляют в условиях ограничений на влияющие факторы и исследуемые функции отклика, посколь-

126

ку как факторы, так и функции могут изменяться только в определенных границах. При этом используют различные виды планов (ПФЭ, ортогональные и ротабельные, ЦКП и др.).

Рассмотрим в качестве примера метод крутого восхождения или наискорейшего спуска. Допустим, что в некоторой окрестности точки у1 с координатами z1,z2 исследуемая функция отклика, характеризующая процесс, описывается полиномом:

у = а0+ а1 х1+ а2 х2.

Один из факторов, выраженных в натуральных величинах, принимают за базовый, например х1. Вычисляют для него произведение а1 z1, где а1 – коэффициент регрессии, z1 – интервал варьирования первого фактора. Далее для базового фактора выбирают шаг движения z01, с учетом которого производится оптимизация. Обычно z1>Δz01, после этого определяют v = z1/(а1 z1). Затем вычисляют шаги движения к оптимуму для всех остальных факторов, в данном случае z2=v ·а2 z2.

К оптимуму движутся из центра плана. На каждом новом шаге добавляют z0i к соответствующим предыдущим значениям факторов zi. Так осуществляют оптимизацию методом крутого восхождения.

Наряду с этим часто используют для оптимизации процессов методы Гауса-Зейделя, симплексов и др.

Вопросы для повторения

1.Какой принцип положен в основу планирования эксперимента?

2.Какие вопросы решают при планировании экспери-

мента?

3.Поясните структурную схему эксперимента.

4.Поясните особенности планирования многофакторного эксперимента.

127

рубежных конкурентов и действует на территории той страны, где он выдан.

Обычно патент подкрепляется регистрацией товарного знака или промышленного образца.

Права на изобретение, полезную модель, промышленный образец охраняются законом и подтверждаются соответственно патентом на изобретение, патентом на полезную модель и патентом на промышленный образец.

Патент удостоверяет приоритет, авторство изобрете-

ния, полезной модели или промышленного образца и исключительное право на изобретение, полезную модель или промышленный образец. Патент на изобретение действует до истече-

ния двадцати лет с даты подачи заявки в федеральный орган исполнительной власти по интеллектуальной собственности.

Патент на полезную модель действует до истечения пяти лет с даты подачи, на промышленный образец – до истечения десяти лет.

Патентоспособность – это наличие у технического решения всех критериев изобретения в соответствии с законодательством каждой отдельно взятой страны.

В соответствии с Патентным законом РФ в качестве изобретения охраняется техническое решение в любой области, относящееся к продукту (в частности, устройству, веществу, штамму микроорганизма, культуре клеток растений или животных) или способу (процессу осуществления действий над материальным объектом с помощью материальных средств). Изобретению предоставляется правовая охрана, если оно является новым, имеет изобретательский уровень и промышленно применимо.

Изобретение является новым, если оно не известно из уровня техники. Оно имеет изобретательский уровень, если для специалиста явным образом не следует из уровня техники.

Уровень техники включает любые сведения, ставшие общедоступными в мире до даты приоритета изобретения.

129

Изобретение является промышленно применимым, если оно может быть использовано в промышленности, сельском хозяйстве, здравоохранении и других отраслях деятельности.

Не считаются изобретениями:

•открытия, а также научные теории и математические методы;

•решения, касающиеся только внешнего вида изделий и направленные на удовлетворение эстетических потребностей;

•правила и методы игр, интеллектуальной или хозяйственной деятельности;

•программы для электронных вычислительных машин;

•решения, заключающиеся только в представлении информации.

Не признаются патентоспособными:

•сорта растений, породы животных;

•топологии интегральных микросхем;

•решения, противоречащие общественным интересам, принципам гуманности и морали.

В качестве полезной модели охраняется техническое решение, относящееся к устройству.

Полезная модель признается соответствующей условиям патентоспособности, если она является новой и промышленно применимой. Новизна определяется совокупностью ее существенных признаков, не известных из уровня техники. Полезная модель является промышленно применимой, если она может быть использована в промышленности, сельском хозяйстве, здравоохранении и других отраслях деятельности.

В качестве полезных моделей правовая охрана не предоставляется:

•решениям, касающимся только внешнего вида изделий

инаправленным на удовлетворение эстетических потребностей;

•топологиям интегральных микросхем;

•решениям, противоречащим общественным интересам, принципам гуманности и морали.

130