2893
.pdfz3,4 = ±4i . Из этих точек в верхней полуплоскости лежат только z1 = −3+ 2i и z3 = 4i . Так как
f (z)= |
z 2 −4 |
, |
(z +3−2i)(z +3+ 2i)(z −4i)(z + 4i) |
то в силу следствия 26.4 каждая особая точка является полюсом первого порядка. Вычеты в точках z1 и z3 найдем по
формуле
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
res z 0 f |
= lim (z −z0 ) f (z) |
|
|
|
|
|
(33.6) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(формула (5.5)). Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
res−3+2i f = |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
z +3−2i |
) |
z 2 −4 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
)( |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
z→−3+2i |
|
z +3−2i |
z +3 |
+ 2i |
) |
|
|
|
z 2 +16 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
z 2 −4 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
(−3+ 2i)2 −4 |
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
( |
z +3+ 2i |
) |
|
|
z 2 +16 |
|
|
4i((−3+ 2i) |
2 |
+16) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
z→−3+2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
1−12i |
|
|
= |
11−16i |
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
12i(7 −4i) |
12 13i |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
res4i f = lim |
|
|
|
z − |
4i |
) |
z 2 −4 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+13)(z −4i)(z + 4i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
z→4i (z 2 + 6z |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
2 |
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
4i |
) |
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
((4i)2 |
|
+ 24i +13)8i |
|
|||||||||||||||||||||
z→4i (z 2 + 6z +13)(z + 4i) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
1+8i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= 6 13i . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6i |
|
−1+8i |
) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
Следовательно,
241
|
( |
x 2 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
−4 dx |
|
|
= 2πi(res−3+2i |
|
|
f )= |
|
||||||||
−∞∫ |
|
|
|
f + res4i |
|
||||||||||||
(x 2 + 6x +13)(x 2 +16) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
11−16i |
|
|
1+8i |
|
|
π |
( |
) |
π |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= 2πi |
|
|
+ |
|
|
= |
|
|
11−16i |
+ 2 +16i |
= . |
|||||
|
|
|
|
13i |
|
|
6 13i |
|
|
6 13 |
|
|
|
6 |
|||
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Задача 8.35. Вычислить интеграл |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
dt |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫0 |
|
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5− |
|
21sin t |
|
|
Решение. Сделаем замену переменного, положив z = eit t. Тогда dz = eiti dt = zi dt , откуда
|
|
dz |
|
|
|
i dz |
|
|
|
1 |
(e |
it |
|
|
|
−it |
)= |
1 |
|
|
1 |
|
|
|||||||
|
dt = |
|
= − , |
sin t = |
|
|
−e |
|
|
|
z − |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
zi |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
z |
|
|
||||||
При изменении t от 0 до 2π |
|
точка |
z = eit описывает |
|||||||||||||||||||||||||||
окружность |
|
z |
|
=1. |
|
Переходя |
|
в |
|
|
|
данном |
|
|
интеграле |
к |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
переменному z , получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2π |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫ |
|
= − |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5− 21sin t |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
z |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
z |
=1 |
z 5− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
2 dz |
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 z |
2 |
+10iz + |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
=1 − |
|
21 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученный интеграл вычислим с помощью вычетов. Вначале найдем особые точки функции
f (z)= |
2 |
, |
− 21 z 2 +10iz + 21 |
приравнивая знаменатель к нулю:
242
− 21 z 2 +10iz + 21 = 0 .
По обычной формуле для корней квадратного уравнения
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D = 10i |
) |
2 |
|
−4 − 21 21 = −16 , |
|
z |
|
= |
|
3i |
, z |
|
= |
7 i |
. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
( |
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Из этих точек только |
z1 лежит внутри окружности |
|
z |
|
=1, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
поскольку |
|
|
|
|
z2 |
|
= 7 |
21 >1 . |
|
Так |
|
как |
|
|
|
функция |
|
|
|
f (z) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
представима в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
f (z)= |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
− 21(z −3i |
21)(z −7 i 21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
то обе особые точки z1 |
и z2 |
— полюсы первого порядка. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Найдем теперь вычет в точке z1 |
по формуле (33.6): |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
res z1 f = lim |
|
|
|
|
2(z −3i |
21) |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
21)(z |
−7 i 21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
z→3i |
|
|
|
21 − 21(z −3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
2 |
|
|
= |
1 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z −7 i 21) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→3i |
21 − 21 |
|
|
7 i −3i |
|
|
|
|
2i |
||||||||||||||||||
Используя основную теорему о вычетах, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∫ f (z)dz = 2πi res z1 f |
= 2πi |
|
1 |
|
|
= π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, исходный интеграл равен π.
243
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Приступая к изучению высшей математики, необходимо знать, что математику нельзя изучать пассивно, нужно стараться глубоко вникать в смысл математических понятий и теорем, пытаться самостоятельно решать математические задачи. Результатами изучения курса высшей математики должны быть развитие аналитического мышления, овладение навыками решения математических задач, выработка умения самостоятельно ставить задачи и выбирать или разрабатывать методы их решения.
Материал пособия предоставляет возможность студентам самостоятельно освоить основные положения одного из важнейших разделов в курсе высшей математики – теории функций комплексного переменного. Позволяет приобрести и закрепить практические навыки решения простых типовых задач, а также познакомится с методикой построения приложений теории функций комплексного переменного к задачам механики и физики. Наиболее эффективный результат может быть достигнут, если использовать пособие, как для аудиторных занятий, так и для самостоятельной работы.
Несколько слов о том, как работать с этой книгой. Прежде, чем приступать к изучению методов решения задач, необходимо повторить основные определения и теоремы, относящиеся к данному разделу, постараться понять и запомнить наиболее часто используемые формулы. После этого можно переходить к изучению разобранных примеров. Некоторые типовые задачи и методы рассмотрены в пособии, как в общем виде, так и на примерах. Весьма полезно изучить и то и другое. Это поможет вам не только отработать навыки решения задач, но и лучше понять и усвоить теоретический материал.
244
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Краснов М.П. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости / М.П.
Краснов. - М.:, Наука, 1981. 302 с.
3.Мышкис А.Д. Математика. Специальные курсы / А.Д.
Мышкис. - М.: Наука. 1971. 482 с.
3.Ефимов А.В. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа / А.В. Ефимов, Б.П. Демидович. - М.: Наука, 1981. 422 с.
4.Волковыский Л.И. Сборник задач по теории функций комплексного переменного / Л.И. Волковыский, Г.Л. Лунц, И.Г. Араманович. - М.: Наука, 1975. 377 с.
5.Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1973. 719 с.
6.Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного / И.И. Привалов. - М.: Наука, 1977. 416 с.
7.Пантелеев А.В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление / А.В. Пантелеев,
А.С. Якимова. - М.: Высш. шк., 2001. 445 с.
8.Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный. – М.: Рольф, 2007.
9.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс / Д.Т. Письменный. – М.: Айрис-
пресс, 2008.
10. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.:
Высш. шк., 1998.
245
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………….. 3
1.КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ…………………………………………….. 4
1.1.Комплексные числа …………………..……………4
1.2.Действия над комплексными числами………….. 14
2.ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО…………………………………….. 18
2.1.Плоскость комплексного переменного………… 18
2.2.Последовательности комплексных чисел и пределы последовательностей…………………… 22
3.ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ……………….. 31
3.1.Производная и дифференциал. Условия Коши-Римана. Аналитические функции………… 31
3.2.Связь между аналитическими и гармоническими функциями…………………….. 38
3.3.Геометрический смысл производной функции
комплексного переменного. Понятие конформного отображения………………………. 42
4.КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ…………………. 48
4.1.Линейная и дробно-линейная функции….……… 48
4.2.Степенная функция. Понятие римановой поверхности……………………………………… 62
4.3.Показательная и логарифмическая функции….. 70
4.4.Общая степенная и тригонометрические функции. Функция Жуковского……………….. 76
5.ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО……………… 85
5.1.Интеграл от функции комплексного переменного……………………………………. 85
246
5.2.Теорема Коши………………………………….. 91
5.3.Неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница……………………………. 96
5.4.Интегральная формула Коши и ее следствия……………………………………. 102
6.РЯДЫ
6.1.Числовые ряды………………………………….. 110
6.2.Функциональные ряды…………………………. 117
6.3.Степенные ряды………………………………… 126
6.4.Ряды Лорана…………………………………….. 135
|
168 |
7. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ |
168 |
ИТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ……………………………….. 146
7.1.Классификация изолированных особых точек... 146
7.2.Вычет функции в изолированной особой точке.. 161
7.3.Вычисление интегралов с помощью вычетов… 170
7.4.Логарифмический вычет и принцип аргумента.. 184
8.ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ……….. 195
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………. 244
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК……………… 245
247