2524

4. Вероятность отказа объекта в интервале времени от t до t+ t0 определяется как дополнительная к соответствующей вероятности, т. е.

5. Плотность распределения отказов: а) Вероятностное определение

( ) = ( ) = ( ) = − ( ),

т.e.f(t)—плотностьвероятноститого,что времяработыобъекта до отказа окажется меньшеt, или плотность вероятности отказа к моменту времени ∆t.

б) Статистическое определение

T. e. (̅) — отношение числа отказов в интервале времени[t,t+∆t]к произведению числа исправных объектов в начальный момент времени t=0 на длительность интервала времени ∆t.

6.Интенсивность отказов объекта в момент времени t: а) Вероятностное определение

20

для характеристики восстанавливаемых объектов, повторно они не приводятся.

Введем дополнительные обозначения: g (t) — плотность распределения G (t); G (f) = Р{η<t} — распределение времени восстановления; n (t, t') — число объектов, неработоспособных в момент tили отказавших хотя бы один раз в интервале [t, t']; nв(t) — число объектов, восстановление которых длилось меньше; N (t, t") — число объектов, работоспособных в момент tи не проработавших безотказно до t'; Nв (t) — число объектов, восстановлениекоторыхдлилось большеt;t∞;— произвольный “достаточно удаленный” момент времени, соответствующий стационарномурежимуслучайного процесса; ∆nв (t,t') — число объектов, восстановление которых длилось больше t, но меньше t'; ξk— случайное время работы (случайная наработка) объекта перед k-м отказом (после (k-1)-го восстановления);

ξ( )— реализация ξi для i-гoобъекта; ηк — случайное время восстановления (простоя) объекта после k-го отказа; ( )— i-я реализация времени восстановления.

1. Средняя наработка между отказами: а) Вероятностное определение

→→

т. е. T—математическое ожидание предельного значения наработки между отказами для стационарного процесса.

Здесь Тк — средняя наработка объекта от момента окончания (k-1)-го восстановления до k-го отказа, определяемая как

22

т. е. Тk — математическое ожидание (среднее значение) наработки объекта от моментаокончания (k-1)-го отказа;

б) Статистическое определение

т. е. — среднее арифметическое реализаций времени работы до k-го отказа при «достаточно большом» k.

Для Т при произвольном фиксированном к справедливо следующее статистическое определение:

где принято, чтоξ( ) ≤ ξ( ) ≤ ≤ ξ[ ( )], причем ξ( ) = 0.Здесь N(0) — общее число объектов, начавших работать после

(k-1)-го восстановления; ξ( ) — реализация времени работы после (k-1)-го восстановления до k-го отказа для i-гoизделия (в порядке поступления отказов); Тк — среднее арифметическое реализаций наработки объектов от момента окончания (k-1)-го восстановления до k-го отказа.

2. Параметр потока отказов:

а) Вероятностное определение(для стационарного ординарного потока отказов)

23

= 1/ ,

т. е. λ— математическое ожидание числаотказов объекта с восстановлением в единицу времени для установившегося процесса эксплуатации.

б) Статистическое определение

=1/ ,

Т.е. λ — среднее число отказов объекта с восстановлением вединицу времени.

Втеории надежности в отличие от теории массового обслуживания, как правило, не приходится различать интенсивность и параметр потока отказов, так как поток отказов физически является всегда ординарным.

3. Средняя наработка на отказ:

а) Вероятностное определение

( ) = { ( )},

т. е. T(t0) — отношение суммарной наработки t0за заданный периодвремени кматематическомуожиданию числа отказов за это же время

б) Статистическое определение

т. е. Т (t0) — отношение суммарной наработки t0за время наблюдения за объектом к наблюдаемому числу отказов за это

24

т. е. μ(t)— условная плотность вероятности восстановления объектав моментвремениt,отсчитываемого отмоментаначала восстановления, при условии, что до момента времени tвосстановления объекта не произошло;

б) Статистическое определение

т. e. μ(t) — отношение числа восстановлений в интервале времени [t, t+∆t] к произведению числа объектов, еще не восстановленных к моменту t, на длительность интервала времени ∆t.

6. Нестационарный коэффициент оперативной готовности: а) Вероятностное определение

т. e. R (t, t + ∆t)—вероятность того, что объект окажется работоспособным в момент tи проработает безотказно в течение заданного времени t0, начиная с этого момента, или вероятность того, что интервал времени [t,t+t0]целиком попадает внутрь одного из интервалов θк, k = 1,2, ... ;

б) Статистическое определение

времени t+t0, к общему числу объектов в момент времени t. Этот показатель для восстанавливаемых объектов

определяется иначе, чем для невосстанавливаемых.

7. Стационарный коэффициент оперативной готовности, или стационарная вероятность безотказной работы объекта в течение заданного времени работы t0(обычно называется коэффициентом оперативной готовности):

а) Вероятностное определение

( ) = lim ( , + ),

→

т. е. R(t0) — вероятность того, что объект проработает безотказно в течение заданного времени t0, начиная с произвольного «достаточно удаленного» момента времени.

Для любых распределений наработки между отказами и времени восстановления,имеющихконечныесредниезначения T и τ соответственно, всегда можно записать

т. е. R(to) — отношение числа объектов, исправных в произвольный «достаточно удаленный» момент времени и

27

проработавших затем безотказно в течение заданного времени t0, кобщему числу объектов.

8. Нестационарный коэффициент готовности объекта: а) Вероятностное определение

находится в состоянии работоспособности (при известных начальных условиях в момент t= 0);

б) Статистическое определение

( ) = ( )/ (0) = 1 − ( )/ (0)

т. e. ( ) — отношение числаобъектов, находящихся в момент времени tв состоянии работоспособности, к общему числу объектов.

9. Нестационарный средний коэффициент готовности объекта:

а) Вероятностное определение

( ) = 1 ( )

т. е. K*(t) — математическое ожидание отношения времени, в течение которого объект находится в соответствии работоспособности в интервале [0, t], ко всей длительности этого интервала;

28

б) Статистическое определение

где Si(t)— суммарная наработка i-гoобъекта за время t, т.е.( )— арифметическое суммарных наработок объектов за

время t.

10.Стационарный коэффициент готовности объекта (для краткости обычно называется коэффициентом готовности):

а) Вероятностное определение

= lim ( ) = lim ( )

→→

или

= ( = 0),

т. е. К — вероятность нахождения объекта в состоянии работоспособности для стационарного случайного процесса (т.е. в произвольный и достаточно удаленный момент времени) или математическое ожидание отношения времени (для стационарного случайного процесса), в течение которого объект находится в состоянии работоспособности в некотором интервале, ко всей длительности этого интервала.

Для любых распределений наработки между отказами и времени восстановления, имеющих конечные средние значения и τ соответственно, всегда можно записать

= /( + );

б). Статистическоеопределение

= ( )/ (0) = 1 − ( )/ (0),

29