2338

Модель задачи формализуется в виде задачи о покрытии:

n

xj min;

j 1

n

aijxj 1,i 1,m;

Задача о разбиении

Задача о разбиении аналогична задачи о покрытии с тем отличием, что признаки у различных предметов не должны совпадать:

n

xj min;

j 1

n

aijxj 1,i 1,m;

Задача о взвешенном разбиении формулируется в виде:

n

cjxj min;

j 1

n

aijxj 1,i 1,m;

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В учебном пособии рассмотрены основные классы методов, которые используются при поиске оптимальных проектных и управленческих решений в автоматизированных системах. Рассмотренные методы инвариантны к предметной области приложения и могут использоваться для решения широкого круга прикладных оптимизационных задач.

Алгоритмы, рассмотренные в пособии, могут быть доведены до программной реализации. Это позволяет использовать учебное пособие не только в лекционных курсах, но и в курсовом и дипломном проектировании.

151

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Акулич И.Л Математическое программирование в примерах и задачах / И.Л. Акулич. – СПб.: Лань, 2011. – 231 с.

2.Батищев Д.И. Оптимизация в САПР: учебник / Д.И. Батищев, Я.Е Львович, В.Н. Фролов. – Воронеж: Изд-во Воронежского государственного университета, 1997. – 416 с.

3.Батищев Д.И. Решение дискретных задач с помощью эволюционно-генетических алгоритмов: учеб. пособие / Д.И. Батищев, В.Е. Костюков, Е.А. Неймарк. – Нижний Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2011. - 199 с.

4.Белецкая С.Ю. Математические методы поиска оптимальных решений: учеб. пособие / С.Ю. Белецкая. – Воро-

неж: ВГТУ, 2008. – 201 с.

5.Курейчик В.В. Основы теории эволюционных вычислений / В.В. Курейчик, В.М. Курейчик, С.И. Родзин.– Ростов на Дону: Изд-во ЮФУ, 2010. – 156 c.

6.Пантелеев А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах: учеб. пособие / А.В. Пантелеев, Т.А. Летова. – М.:

Высш. шк., 2002. – 544 с.

7.Реклейтис Г. Оптимизация в технике / Г. Реклейтис, А. Рейвиндран, К. Рэгсдел: в 2 кн.: пер. с англ. – М.: Мир, 1986. – 346 с. 320 с.

8.Черноруцкий И.Г. Методы оптимизации: Компьютерные технологии / И.Г. Черноруцкий. – СПб.: ИРМ, 2011. – 384 с.

152

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………..……..………………3

1. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧ ПОИСКА ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ…………………………………..…….………….4

1.1.Математическое описание и классификация задач оптимизации……….……..……..……………..4

1.2.Обобщенная схема процесса поиска

оптимальных решений ….…………………….……..8

2.МЕТОДЫ ОДНОМЕРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ…………...13

2.1.Метод Ньютона…………………………………..….13

2.2.Метод дихотомии……………………………………15

2.3.Метод Фибоначчи…………………………………...17

2.4.Метод золотого сечения…………………………….19

3.ЛИНЕЙНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ…………..………………...22

3.1.Формы записи задач линейной оптимизации…...…22

3.2.Решение задач линейной оптимизации симплекс-

методом……………………………………… ……..26

3.3.Метод искусственного базиса………………………34

3.4.Двойственный симплекс-метод.……………………39

4.НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ…………………………44

4.1. Постановка задачи нелинейной оптимизации.…..44

4.2.Методы учёта ограничений

взадачах нелинейной оптимизации………………..44

4.3.Принципы построения и классификация методов безусловной оптимизации………………………….48

4.4.Методы нулевого порядка………………………..…50

4.4.1. Простейшие алгоритмы покоординатного спуска……………………………………………51

4.4.2. Метод конфигураций Хука-Дживса……….….56

4.4.3. Метод вращения осей Розенброка………….....60 4.4.4. Метод переменного многогранника Нелдера-

Мида……………………………………………..63

4.5.Методы первого порядка…………………………..…68

4.5.1. Градиентный метод с дроблением шага……....69 4.5.2. Метод наискорейшего спуска…………..…......71

153

4.6.Методы второго порядка………………..…………..73

4.6.1.Метод Ньютона………………………………....74

4.6.2.Метод Ньютона-Рафсона……………………....75

5.МЕТОДЫ ДИСКРЕТНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ……………..78

5.1.Классификация задач дискретной

оптимизации……………………………………...….78

5.2. Методы решения задач дискретной оптимизации…………………………………………80

5.2.1.Метод отсечений Гомори…………………...…80

5.2.2.Метод ветвей и границ…………………………87

6.ГЕНЕТИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ ОПТИМИЗАЦИИ..……97

6.1.Основные понятия ………………………………..…98

6.2.Обобщенная схема генетического алгоритма……101

6.3.Основные генетические операторы…………….…103

6.3.1.Выбор родительской пары……………………103

6.3.2.Рекомбинация…………………………………105

6.3.3.Мутация……………….……………………….110

6.3.4.Селекция…………….…………………………112

6.4.Пример работы генетического алгоритма……..…116

7.РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ………………………………………….121

7.1.Парето-оптимальность в задачах многокритериальной оптимизации……………….121

7.2.Основные подходы к алгоритмизации задач многокритериальной оптимизации……………….125

7.1.1.Формирование обобщенного критерия оптимальности………………………………..125

7.2.Методы последовательной оптимизации……..128

8.НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ

ВАВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ…………...133

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………….....151

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК……………………..…152

154

Учебное издание

Белецкая Светлана Юрьевна

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

ВАВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ

Вавторской редакции

Подписано в печать 15.12.2017.

Формат 60x84/16. Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. 9,8. Уч.-изд. л. 8,0. Тираж 350 экз.

Зак. №

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»

394026 Воронеж, Московский просп., 14

Участок оперативной полиграфии издательства ВГТУ 394026 Воронеж, Московский просп., 14

155