2085

2 k

r2

R

1 1 k

R2

kR2

.

cos

2

0

2

0

2

2

2

В итоге получаем координаты центра масс

x y z

Myz

kR3

kR2

R

.

c c

c

m

12

2

6

Пример 7. Найти площадь части сферы x2 y2 z2 1,

распо-

ложенной между плоскостями

z

y

и

z y

(x 0,

y 0,

3

z 0).

z

1

_2

_3

G

2 2

y

0

0

D

1

y

1

1

x

x

а)

б)

пересечения плоскости z

y

и сферы x2 y2 z2 1 под-

3

y

ставляем в уравнение сферы z

. Получаем, что проекцией

3

является

часть эллипса

x2

y2

1. Чтобы найти

уравнение

1

3 4

проекции

линии пересечения

плоскости z y

и сферы

112

x2 y2 z2 1 подставляем в уравнение сферы

z y. Получа-

x2

y2

ем, что проекцией является часть эллипса

1. Изобра-

1

1 2

z

1 x2 y2

и вычисляем искомую площадь

Q

z 2

z 2

dxdy

x rcos

1

dxdy

y rsin

D

x

y

D 1 x2 y2

2

1

1

sin2

2

3

rdr

sin

sin

d

d

0

1 r

2

0

4 cos

2

2 cos

2

1

1 sin2

cos

cos

2

arcsin

arcsin

.

2

12

2

0

Пример 1. Вычислить e

z

2

Rezdz, где C - отрезок прямой,

C

гральной функции

f z e

z

2

Rez. Для этого перепишем ее в

виде e

z

2

Rez ex2 y2 x. Отсюда следует, что u x, y xex2 y2

,

v x,0 0. Применим формулу f z dz

C

u x, y dx v x, y dy i v x, y dx u x, y dy. Получаем,

C

C

z

2

1

2x2

1

2x2

1

2x2

1

1

2x2

1

e

Rezdz xe

dx i xe

dx

e

i

e

4

4

C

0

0

0

0

1

e2 1 i

1

e2 1

1

e2 1 1 i .

4

4

4

Пример 2. Вычислить

zkdz ,

где C - окружность единичного

C

Решение. Так

как на окружности

C

z

1,

то z ei (

2

0 2 ) и dz iei d . Тогда zkdz eik iei d

C

0

2

ei k 1 d i

2

cos k 1 isin k 1 d

i

0

0

sin k 1

cos k 1

2

0,

k 1

i

.

k 1

k 1

0

2 i, k 1

При k 1

функция f z

1

не определена и не дифференци-

z

руема

в

точке z 0. Интеграл не равен нулю. При

k 2,

3, подынтегральная функция не определена в точке

Пример 3. Вычислить

zzdz, где C:

z

1.

C

Решение. Аналогично примеру 2

115

функция не определена) принадлежит кругу

z

4 (рис.

24,б).

Представим

подынтегральную

функцию

в

виде

f z

,

где

z z0

f z ez является аналитической в каждой точке круга

z

4.

Применим

интегральную

формулу

Коши

(z0 3)

f z0

1

f z

ezdz

2 i

C

dz . Получим

z

4

2 iez

.

2 i

z z0

z 3

z 3

e3

cosz

Пример 6. Вычислить

dz, где C:

z

3.

3

C

z

cosz

Решение. Подынтегральная функция

является аналитиче-

z3

z

ской в круге

3 всюду кроме точки z0

0

(рис. 2,в). Выде-

лим под знаком интеграла функцию f z cosz ,

являющуюся

аналитической

в круге

z

3.

Воспользуемся

интегральной

формулой

Коши

для

производной

f n

z

f z

0

n!

dz . При z0 0

и n 2 получим

2 i

z z

0

n 1

C

cosz

2 i

dz

cosz

i.

3

z

3

z

2!

z 0

i

i

i

а) zezdz ;

б) zcoszdz ;

в) 3z3 2z2 dz .

1

0

1

2)

Вычислить интегралы:

а)

zImz2dz, где C :

Im z

1, Rez 1 ;

C

dz , где C :

1, Imz 0 ;

б)

z

z

z

C

в)

zRez2dz , где AB - отрезок прямой,

zA 0,

zB 1 2i.

AB

e

iz

dz

sin

z

а)

dz; б)

; в)

2

dz ;

2

2

2

z i

1

z

1

z

5

z

16

z 1

2

z

2z 3

sh

2

1 z

г)

z

dz ; д)

e

dz.

3

2

z

1

z

z 2i