1424

Тогда из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А); из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В).

является расходящимся.

Теорема. Пусть для рядов (А) и (В) существует конечный и отличный от нуля предел lim an . Тогда ряды (А) и (В) ведут се-

бя одинаково: или оба сходятся, или оба расходятся.

1

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд n 1 n2 1.

то ряд может как сходиться, так и расходиться.

Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражение вида n! или an .

n!

Так как l 0 1, то данный ряд сходится.

3n

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд n 1 n2 .

Решение. Вычисляем

Так как l 3 1, то данный ряд расходится.

11

1.3.5. Радикальный признак Коши

Теорема. Русть дан ряд с положительными членами an

Решение. Применим радикальный признак Коши:

Следовательно, ряд сходится.

1.4. Знакопеременные числовые ряды

Числовой ряд называется знкопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

Числовой ряд вида

где an 0, нызывается знакочередующимся.

Для упрощения рассуждений далее мы будем рассматривать только знакочередующиеся ряды, хотя всё нижеизложенное верно для любого знакопеременного числового ряда.

Теорема Лейбница. Если в знакочередующемся ряде (1.5) члены ряда таковы, что

и liman 0, то ряд (1.6) сходится, его сумма S положительна и

n

не превосходит первого члена, т.е. 0 S a1 .

Доказательство. Рассмотрим частичную сумму

12

S2m a1 a2 a3 a4 ... a2m 1 a2m .

Сгруппируем в ней слагаемые следующим образом:

S2m a1 a2 a3 a4 ... a2m 1 a2m .

Из (1.6) следует, что в последнем равенстве каждая скобка положительна, поэтому частичная сумма S2m положительна и воз-

растает с ростом m.

Сгруппируем в S2m слагаемые по-другому:

S2m a1 a2 a3 a4 a5 ... a2m 2 a2m 1 a2m .

Опять же из (1.6) следует, что каждая скобка положительна, поэтому S2m не превосходит числа a1 .

Таким образом, последовательность частичных сумм S2m

возрастает и ограничена сверху числом a1 , следовательно, она

имеет предел, равный S, и 0 S a1 .

Теперь рассмотрим последовательность нечетных частичных сумм S2m 1. Очевидно, что S2m 1 S2m a2m 1 и

Таким образом, последовательность частиных сумм Sn при

любых n (четных или нечетных) сходится к пределу S. Теорема доказана.

Замечание. В приближенных вычислениях важной задачей является оценка погрешности при замене суммы ряда S его частиной суммой Sn . Если знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то оценивать соответствующую погрешность легко. Так как при замене S на Sn отбрасываются все члены ряда, начиная с an 1, то по сути отбрасывается знако-

чередующийся ряд 1 k 1 ak . Он является сходящимся ря-

k n 1

дом, и его сумма по теореме Лейбница не превосходит первого

13

члена, т.е. an 1. Таким образом, погрешность замены S на Sn не превосходит an 1.

Пример 1. Исследовать на сходимость по теореме Лейб-

то исследуемый ряд сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость по теореме Лейбни-

поэтому ряд сходится по признаку Лейбница.

Пример 3. Исследовать на сходимость по теореме Лейбни-

Решение. Ряд расходится по признаку Лейбница, так как

14

Теорема. Если знакочередующийся ряд (1.5) таков, что ряд

составленный из абсолютных величин его членов, сходится, то сходится и данный знакочередующийся ряд.

Доказательство. Пусть Sn – n-я частичная сумма для ряда

(1.5), а n – n-я частичная сумма для ряда (1.7), Sn – сумма всех абсолютных величин положительных членов среди первых n членов ряда, а Sn – сумма абсолютных величин всех отрица-

тельных членов среди первых n членов ряда. Тогда

Sn Sn Sn , n Sn Sn .

Так как по условию последовательность n имеет конеч-

ный предел и Sn , Sn монотонно возрастающие положительные последовательности, не превосходящие n , то они тоже имеют конечные пределы. Следовательно, Sn Sn Sn также имеет

конечный предел, т.е. знакочередующийся ряд (1.5) сходится. Теорема доказана.

15

1.5. Абсолютно и условно сходящиеся ряды

Определение. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Если же знакочередующийся ряд сходится, а ряд из абсолютных величин его членов расходится, то ряд называется условно сходящимся.

1 n 1 – условно сходящийся.

n 1 n

Обычно знакопеременный ряд исследуют на сходимость по следующему алгоритму:

1.Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Для этого составляем ряд из модулей его членов и проверяем его сходимость с помощью признаков сходимости числового ряда с положительными членами.

2.Если ряд из модулей сходится, то исходный ряд сходится абсолютно. На этом проверка сходимости заканчивается.

3.Если ряд из модулей его членов расходится, то исследуем исходный ряд на условную сходимость по признаку Лейбница.

1 n 1

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

n 1 n!

16

1 n 1

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд . n 1 3n 1

ся рядом. Переходим к исследованию на условную сходимость. Для этого применим признак Лейбница:

Признак Лейбница выполняется, следовательно, ряд сходится условно.

Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место: такие ряды обладают всеми свойствами конечных сумм. Приведем без доказательства основные свойства абсолютно сходящихся рядов.

1.Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S.

2.Абсолютно сходящиеся ряды с суммами S1 и S2 можно

почленно складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S1 S2 (или соответственно S1 S2 ).

17

3. Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами S1 и S2 есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого

равна S1 S2 .

Таким образом, абсолютно сходящиеся ряды складываются, вычитаются, перемножаются как конечные суммы. Суммы таких рядов не зависят от порядка записи членов.

В случае условно сходящихся рядов данные свойства, вообще говоря, не имеют места. Так, переставляя члены условно сходящегося ряда можно добиться того, что сумма ряда изме-

нится. Например, ряд 1 1 1 1 ... условно сходится по при- 2 3 4

знаку Лейбница. Пусть его сумма равна S. Перепишем его члены так, что после одного положительного члена будут идти два отрицательных. Получим ряд

Таким образом, сумма ряда уменьшилась вдвое!

Более того, путем перестановки членов условно сходящеегося ряда можно получить сходящийся ряд с любой заранее заданной суммой или даже расходящийся ряд (теорема Римана).

Задачи для самостоятельного решения

Задача № 1. Исследовать на сходимость ряд:

18

Задача № 2. Исследовать на условную и абсолютную сходимость ряды:

19