1367

Д,, означает соответствие силе 1. Прикладывая теперь F 2 и оставляя неизменной Flt с использованием аналогичных обозначений полу­ чим

Меняя теперь порядок приложения сил и вновь подсчитывая вклад каждого слагаемого в работу, получим для нагружения силой F2 (работу для указанной последовательности нагружений обозначим через W „)

Так как для линейного упругого тела последовательность при­ ложения нагрузок не влияет на величину производимой работы, можно приравнять полученные выражения для W и, сократив по­ добные члены, получим

Так как матрица, обратная симметричной матрице, также сим­ метрична, а матрица жесткости является обратной к матрице подат­

Теорема взаимности Максвелла обычно устанавливается как специальный случай закона Бетти, который гласит, что работа, производимая системой нагрузок {Рх} на перемещениях {Д2}, вызванных системой нагрузок {Р*Ь равна работе, производимой системой сил {Ра} на перемещениях {А,}, вызванных силами {Р,}.

2.6.Преобразование соотношений жесткости и податливости

Имея для элемента один тип соотношений между силами и переме­ щениями, можно получить другие типы соотношений с помощью про­ стых операций. Рассмотрим сначала преобразование соотношений жесткости в соотношения податливости. Проиллюстрируем этот случай на примере плоского элемента, изображенного на

Рис. 2.11. Плоский элемент, (а) Незакрепленный; (Ь) закрепленный.

рис. 2.11 (а). Как указано в разд. 2.3, при построении соотношений податливости элемент должен быть закреплен таким образом, чтобы исключить движение его как твердого целого, и система должна быть статически определима. Указанный способ закрепления эле­ мента изображен на рис. 2.11(b).

Величины, отвечающие закреплению, обозначаются нижним индексом s, а величины, соответствующие оставшимся степеням сво­ боды,— нижним индексом /.

Итак, разбиваем матрицу жесткости следующим образом:

М к«

где для случая, изображенного на рис. 2.11(b), каждая из под­ матриц {[kff] и т. д.) является (ЗхЗ)-матрицей и

Уравнения, записанные выше линии, разделяющей матрицу, пред­ ставляют собой независимую систему уравнений, связывающую внешние силы {Fy} с соответствующими допустимыми узловыми смещениями. Решая указанные уравнения путем обращения мат­ рицы [куу], получим

(Заметим, что операция обращения матрицы обозначается сте­ пенью —1.) Матрица [f], по определению, состоит из искомой сово­ купности коэффициентов податливости элемента. Поэтому соотно­ шения податливости выводятся из соотношений жесткости путем статически определимого закрепления тела с последующим исклю­ чением столбцов и строк матрицы жесткости, отвечающих компонен­ там закрепления, и обращением матрицы из оставшихся элементов.

Чтобы осуществить обратный процесс построения полной мат­ рицы жесткости по известной матрице податливости, необходимо начать с обращения матрицы податливости. Итак,

{F/}=[f]_1{A/}=[k//]{A/}. (2.16)

Так как матрица податливости отвечает статически определимому неподвижному закреплению, то соотношения, связывающие внеш­ ние силы и реакции опоры, легко устанавливаются путем выписы­ вания уравнений статического равновесия. Эти соотношения могут быть записаны в виде

Для получения остальных составляющих полной системы урав­ нений жесткости исследуем предполагаемую конечную форму этих соотношений, т. е. уравнений (2.11). Работа, выполненная внешними нагрузками {Fy} на соответствующих им перемещениях {Ду}, должна равняться работе, производимой оставшимися силами {Fs} на соответствующих им перемещениях {As}, если считать, что {Fy} становятся реакциями опоры. Это можно записать в матричном виде следующим образом:

(2.21)

(2.22)

Принимая во внимание окончательный вид матрицы жесткости (см. (2.11)), можно вывести из условий равновесия те же соотноше­ ния, что и в (2.17). Подставляя (2.21) в (2.17) и учитывая (2.22),

В итоге оказывается, что матрица жесткости строится путем об­ ращения матрицы податливости и матрицы [R], которая получается из условий статического равновесия элемента. Исходная матрица [fl является симметричной. Так как [k/s] получается в результате транс­ понирования [ks/], то указанные блоки результирующей матрицы жесткости симметричны. Также видно, что блок Ik6.J представляется в виде произведения трех матриц, причем первый сомножитель по­ лучается транспонированием последней матрицы. Указанное трой­ ное произведение, называемое конгруэнтным преобразованием, дает симметричную матрицу, если центральная матрица в произведении симметрична. Следовательно, так как [f| симметрична, то и [keJ симметрична. Соотношения (2.24) представляют общую формулу преобразования матрицы податливости в матрицу жесткости с уче­ том степеней свободы, отвечающих движению тела как твердого целого. Число s усилий в опорах предопределено требованиями неподвижности и статической определимости системы, а на число внешних сил / нет ограничений (т. е. отсутствуют ограничения на размерность матрицы податливости).

Чтобы проиллюстрировать эту процедуру, рассмотрим консоль­ ный балочный элемент, изображенный на рис. 2.8(c). Матрица по­ датливости If] была выписана ранее, а уравнения для реакций имеют вид

Поэтому стоящая в правой части равенства матрица 2x2 есть матрица [R1. Читатель может проверить, что использование матриц [fl и [R] в (2.24) приводит к указанной ранее матрице жесткости для балочного элемента.

Теперь в нашем распоряжении имеются все соотношения, позво­ ляющие построить определенные в разд. 2.3 соотношения между уси­ лиями и перемещениями смешанного вида. В этом представлении

величины L ^/ Л/ J выражаются через L ^sA sJРешая сначала (2.17), имеем

{F/}=[R]-1{FS}. (2.17а)

Используя далее (2.24) (верхний блок), записываем верхнюю часть соотношения (2.11) в виде уравнения

Разрешая относительно {А/}, получим

{A/}=lfl{F/}—(R]т{А3}. (2.24Ь)

После подстановки (2.17а) для {F/} имеем

Тогда, используя (2.17а) и (2.24с), приходим к соотношению

Квадратная матрица, стоящая в правой части данного уравнения, играет роль матрицы Ш] из (2.3). Символом нуль в правом верхнем углу матрицы (2.3а) обозначена нулевая матрица, т. е.. матрица, со­ стоящая полностью из нулевых элементов.

2.7. Преобразование степеней свободы

Часто уравнения, записанные для некоторых степеней свободы {Д'}, необходимо записать относительно других степеней свободы {Д}. Наиболее распространен случай, когда исходные степени свободы отвечают одной системе координат и требуется, чтобы уравнения задачи были записаны для степеней свободы, отвечающих другой системе координат. Иными словами, разыскивается преоб­ разование координат. В общем случае преобразованные степени свободы могут не иметь определенного физического смысла, а их число не обязательно должно совпадать с числом исходных степеней свободы. Соотношение, связывающее указанные две системы сте­ пеней свободы, можно записать в виде

Предположим, что уравнения, которые требуется преобразовать, имеют вид

Предположим также, что каждая компонента F\ вектора усилий {F'} производит работу 1/ 2FfA t на перемещении Д|, а ее работа вдоль любой другой компоненты перемещения {А'} равна нулю. Если выполняются указанные условия, т. е. условия справедливы при действии сил в ортогональных направлениях, то такие векторы сил и перемещений называются сопряженными векторами. Обе системы векторов {A'}, {F'} и {A}, {F} выбираются сопряженными.

зультате преобразования {F'}.

Откуда вытекает, что преобразование перемещений (2.25) подра­ зумевает преобразование сил согласно (2.27). Преобразования сил и перемещений называются контраградиентными, если оговорены условия сопряженности. Если преобразование сил задано, то мат­ рица преобразования перемещений получается в результате транс­ понирования сил. Принцип контраградиентности очень важен в том случае, когда преобразования перемещений (или сил) легко нахо­ дятся, исходя из физического смысла, а преобразование сопряжен­ ного вектора осуществить нелегко. Это имеет место, например, если уменьшение числа степеней свободы осуществляют путем про­ цедуры преобразования, описанной в разд. 2.8.

Для уяснения следствий проведенных выше рассмотрений, ка­ сающихся соотношений жесткости элемента, удобно иметь дело с введенными в разд. 2.4 величинами энергии деформации и внешней работы. Потребуем снова, чтобы величина работы оставалась инва­ риантной при заданном преобразовании. Выполняя непосредствен­

Следовательно, преобразованная матрица жесткости, отмеченная знаком (Л), дается выражением

[к]=[Г]т[к'1[Г]. (2.28)

Вектор сил, естественно, преобразуется согласно (2.27). Задавае­

мое соотношением (2.27) преобразование [k'l в Ik] имеет вид кон­ груэнтного преобразования. Таким образом, если [к'] — симмет­

ричная матрица, то и преобразованная матрица [к] должна быть симметричной.

И

coscp —cossin ф'ф;]-[г,г.

Поэтому, если весь элемент содержит п/2 узлов (т. е. в рассматри­ ваемом плоском случае п степеней свободы), искомая матрица пре­ образования всего элемента имеет вид

Г И

[П = [г,]

[r«/,]J

(символом Г J обозначается диагональная матрица).

Так как не требуется обращать матрицу преобразований, а нужно лишь транспонировать ее, то можно определить неквадрат­ ные матрицы преобразования координатных осей. Матрица жест­

Рис. 2.13.

кости стержневого элемента (разд. 2.3) характеризует два осевых смещения. Этот элементе глобальной системе координат (рис. 2.13) описывается шестью компонентами смещений. Обозначая направ­ ляющие косинусы осей элемента в системе координат *, у и z через Ix'x, lx'у и т. д., представим преобразование координатных осей

в виде

(Для удобства в точке 2 показаны только глобальные (без штриха) компоненты, а в точке 1 — только осевая компонента иг.)

2.8. Конденсация

Термин конденсация означает снижение размерности системы урав­ нений при помощи исключения некоторых степеней свободы. Чтобы сократить общее число исходных степеней свободы, редуцированная система уравнений (конденсированные уравнения) должна быть выражена в терминах заранее выбранных степеней свободы {Ас}, которые хотят оставить, а также через дополнительные степени

свободы {А6}, т. е. LA J = L L J LAc J J• Исходные уравне­ ния представляются следующим образом:

(2.32)

и редуцируются (конденсируются) к виду

Рассмотрим подход, в котором конденсирование основано на преобразовании координат. Итак, задача состоит в построении соот­ ношений

(2.34)

где [Г0] — искомая матрица преобразований. Для этого решим сначала верхнюю часть уравнения (2.32):

Так как второй член в правой части соотношения есть константа для заданных нагрузок, соотношения жесткости между степенями свободы {Ас} и {А6} задаются с помощью матрицы—[kbb]“1[k/,c]. Замечая также, что {ЛС} = [1|{АС}, можно записать следующее

преобразование координат

Применяя указанное преобразование к уравнению (2.32) как обычное преобразование координат, получим соотношения (2.33),

Заметим, что данное преобразование, полученное на основе соотно­ шений, связывающих лишь степени свободы, можно применять так­ же для преобразования векторов в правосторонней системе коор­ динат.

Эти результаты можно непосредственно получить, если подста­ вить (2.35) в нижнюю часть уравнения (2.32), однако конденсация на основе преобразования степеней свободы [Г0] оказывается по­ лезной при анализе динамической и упругой устойчивостей и может оказаться удобной с точки зрения программирования даже для линейных задач статики.

Для иллюстрации рассмотрим вновь консольную балку, изображенную на рис. 2.8(c), и исключим с помощью конденсации степень свободы 0i. Опорная матрица жесткости получается из представ-

*> Может вначале показаться, что преобразование, задаваемое с помощью

(2.36), должно содержать постоянный вектор {А^}= [к^^1—1 {Fb}, входящий в (2.35), и записываться в виде

(2.36а)

Однако можно доказать, что наличие вектора [_ А^О ._|не оказывает влияния на

преобразование. Вектор [_ А&О J отвечает движению тела как твердого целого. Хотя преобразование, включающее движение тела как твердого целого, изменяет пол­ ную энергию системы, алгебраические уравнения, которые задают поведение конструкции (например, уравнения жесткости (2.1)), выводятся из условия ста­ ционарности энергии, а на это условие движение тела как твердого целого не влия­ ет. Можно убедиться в этом, подставляя (2.36а) в выражение для потенциальной энергии:

После подстановки в указанное выражение соотношений (2.36а) и последующего дифференцирования по {А&} приходим к результату, совпадающему с результа­ том, получаемым, если применить преобразование [Г 0]. Представления, поясня­ ющие эгу последовательность операций, содержатся в гл. 6 и 7.