Метод минимакса

Критическая концентрация металла в смазке определяется из уравнения

Решая это уравнение численным методом, находим х^* = 0,74 мг/кг. Наименее благоприятное сочетание вероятностей исправного P^*(D₀) и неисправного Р^* (D₀) = 1 – Р^* (D₀) состояний вычисляются по формуле:

В результате определяем P^*(D₀)= 0,528; P^*(D₁)= 0,472. Вероятности ошибок 1-го и 2-го рода рассчитываются по формулам (36), в которых необходимо положить P(D₀) = P^*(D₀) и P(D₁) = P^*(D₁): P_F =0,0604 и Р_M =0,0027. Минимаксный риск равен R = 1,14 усл. ед.

Обратим внимание на то, что действительный риск меньше минимаксного риска, поскольку последний определялся при наиболее неблагоприятном значении вероятности исправного состояния P^*(D₀), отличающегося от реальной априорной вероятности P(D₀).

Метод Неймана – Пирсона

Проведем расчет критической концентрации металла в смазке для нескольких значений коэффициента избыточности k =1; 3; 5 . Для выбранных значений k вероятности ложной тревоги соответственно равны (ε= k P(D₁)): ε = 0,05; 0,15; 0,25. Критическая концентрация металла определяется из условия не превышения ошибки 1-го рода Р_F заданной величины ε. Следовательно, уравнение для вычисления х^* в нашем случае имеет вид, см. рис. 1

Для указанных ε значения х^*₁ равны: х^*₁ =0,82; х^*₂=0,7; х^*₃=0,63. По формуле (36) определяем соответствующие вероятности пропуска дефекта: Р_M1 =0,00061; Р_M2 =0,00019; Р_M3 =0,00009. Средний риск в этих случаях составляет соответственно: R₁ = 0,62; R₂ = 1,54; R₃ = 2,52 усл. ед. Результаты проведенных расчетов сведены в табл. 4

Таблица 4

Данные расчетов с помощью методов статистических решений

Метод		Критическая концентрация	Вероятность ложной тревоги	Вероятность припуска дефекта	Средн. риск
Минимального риска		0.92	1.68	0.13	0.44
Минимального числа ошибочных явлений		1.09	0.16	0.42	0.86
Максимального правдоподобия		0.92	1.61	0.14	0.44
Минимакса		0.74	6.04	0.27	1.14
Неймана- Пирсона	ε =0,05	0.82	5.0	0.06	0.62
	ε =0,15	0.70	15.0	0.02	1.54
	ε =0,25	0.63	25.0	0.01	2.25

Из приведенных данных следует, что применение метода минимального числа ошибочных решений приводит к наибольшей вероятности пропуска дефекта, так как при расчете критической концентрации металла не учитывались существенно различные стоимости ошибок диагностирования. В итоге – сравнительно высокое значение риска. Метод минимакса, а также метод Неймана-Пирсона дают высокий уровень ложной тревоги, то есть приводят к необходимости замены большого числа исправных подшипников и высокой величине риска диагностирования.

Обращает на себя внимание тот факт, что данные расчетов с помощью методов минимального риска и максимального правдоподобия практически совпадают. Такое совпадение связано исключительно с исходными данными этого примера. Для приведенных значений выполняется следующее условие П₁₀Р(D₁)/П₀₁Р(D₀) 1, метод минимального риска сводится к методу максимального правдоподобия при равенстве этого соотношения единице (=1). Отсюда совпадение результатов расчетов с использованием этих методов. В общем случае это не так.

Из результатов расчетов следует, что наилучшее правило принятия решения с наименьшим по сравнению с другими значением среднего риска дает применение метода минимального риска, основанного на использовании всей доступной информации о диагностируемом объекте.

Детальный анализ показывает, что критическое значение информативного параметра х^* – концентрация металла в смазке, существенно зависит от соотношения между потерями от ошибок 1-го и 2-го рода при диагностике. На рис. 3а показана зависимость критического значения х^* от отношения между потерями от ошибок при диагностике П₁₀/П₀₁ .С увеличением потерь от ошибки 2-го рода – пропуска сигнала, критическое значение х^* убывает. При этом уменьшается вероятность пропуска сигнала Р_M и, соответственно, возрастает вероятность ложной тревоги P_F

Рис. 3. Изменение критического значения диагностического параметра х^* (а) и ошибок 1-го и 2-го рода (б) в зависимости от отношения потерь от неправильно принятых решений

На рис. 36 приведены зависимости вероятностей ошибок 1-го и 2-го рода от отношения между потерями от этих ошибок. Заметим, что с возрастанием отношения П₁₀/П₀₁ темп роста Р_F выше, чем у Р_M. Это обусловлено тем, что среднеквадратическое отклонение σ₁ распределения w(x/D₀) меньше, чем среднеквадратическое отклонение о, распределения w(x/D₁).

Задача 3. Степень старения металла различных участков трубопроводов цехов машиностроительного предприятия могут быть оценены по изменению в процессе эксплуатации предела текучести металла σ_0.2. На основе анализа сертификатных данных трубопроводов и результатов массовых натурных безобразцовых измерений этого параметра методом измерения твердости установлено, что в исходном и состаренном состояниях его значение подчиняется нормальному закону распределения. Например, для трубопроводов в исходном состоянии среднее нормативное значение предела текучести основного металла – стали ОХ18Н10Т – составляет σ_0.2^исх =245 МПа при среднеквадратическом отклонении 25 МПа, а для предельно состаренного состояния эти величины соответственно равны σ_0.2^стар=175 МПа и 20 МПа. Используя различные статистические методы принятия решений, определить значение предела текучести, при котором трубопровод подлежит замене, если стоимость замены в условных единицах составляет 10 усл. ед., а затраты на ликвидацию последствий аварийной ситуации, связанной с разрушением трубопровода, оцениваются в 200 усл. ед. Априорные вероятности допустимого и недопустимого состояний трубопровода на момент диагностического обследования соответственно равны 0,95 и 0,05. Выигрыши от правильно принятых решений при диагностике трубопроводов можно принять равными нулю.

Проанализируем условия этой задачи, сопоставив их с данными предыдущей задачи 2. Прежде всего, для упрощения обозначений условимся, диагностический параметр – предел текучести стали σ_0.2 – обозначать х. Плотности вероятности распределения этого параметра в исходном и состаренном состояниях показаны на рис. 4. Сравним рис. 4 с рис. 1, на котором показано взаимное расположение графиков условных плотностей вероятности распределения диагностического параметра для разных состояний диагностируемого объекта, соответствующее данным задачи 2.

Обратим внимание на то, что среднее значение диагностического параметра – предела текучести стали – в исходном состоянии выше, чем в состаренном. Поэтому на рис. 4 график плотности вероятности распределения диагностического параметра для исходного состояния металла трубопровода расположен справа от графика плотности вероятности распределения диагностического параметра в случае состаренного состояния металла.

Рис. 4. Распределения предела текучести металла трубопровода в исходном и состаренном состояниях

С изменением взаимного расположения графиков плотностей вероятности распределения диагностического параметра для допустимого и недопустимого состояний металла трубопроводов изменилось и положение заштрихованных областей, соответствующих вероятностям ошибок 1-го и 2-го рода – Р_м и P_F, сравни рис. 1 и рис. 4.

В связи с этим нетрудно сообразить, что для расчета критического значенияпредела текучести стали, вероятностей ошибок диагностирования и среднего риска с применением различных статистических методов принятия решений можно воспользоваться соотношениями, приведенными ранее, если исходное (допустимое) состояние металла трубопроводов обозначить как D₁, состаренное (недопустимое) D₀, а в формулах вычисления ошибок диагностирования заменить Р_M на Р_F и наоборот. С учетом сказанного введем следующие обозначения: среднее значение предела текучести стали в состаренном состоянии x₀=175 МПа; среднеквадратическое отклонение предела текучести стали в состаренном состоянии ₀=20 МПа; среднее значение предела текучести стали в исходном состоянии х₀=245 МПа; среднеквадратическое отклонение предела текучести стали в исходном состоянии ₀=25 МПа; априорные вероятности исходного (допустимого) и состаренного (недопустимого) состояний металла трубопровода на момент диагностического обследования соответственно равны P(D_l)=0,95 и P(D₀)=0,05; потери от ошибки 1-го рода П₁₀=10 усл. ед.; потери от ошибки 2-го рода П₀₁=200 усл. ед.