Метод минимакса

Метод минимакса используется, если неизвестны априорные вероятности состояний – Р(D_o) и P(D_l). Суть метода – минимизация максимально возможного риска, который может иметь место из-за неблагоприятного сочетания неизвестных априорных вероятностей состояний диагностируемого объекта P(D₀) и P(D₁)

Чтобы понять основную идею метода, рассмотрим как меняется функция среднего риска R в зависимости от априорных вероятностей состояния диагностируемого объекта P(D₀) и P(D_l). Так как эти величины взаимосвязаны и в сумме равны единице, достаточно проанализировать поведение R при изменении одной из указанных вероятностей, например P(D₀). Очевидно, что известны значения риска в точках P(D₀)=0 и P(D₁)=1. Действительно, если P(D₀)=0, то априорно известно, что объект находится в состоянии D₁. Сделав такое заключение, получим выигрыш от правильно принятого решения. Функция риска при этом принимает значение R = П₁₁, (П₁₁ <0), рис.2. Напомним, что выигрыши – это отрицательные потери, см. комментарии к табл. 1. С увеличением P(D₀) возрастает неопределенность при определении состояния диагностируемого объекта. Растет и риск принятия решения R>П₁₁, причем производная функции риска в точке P(D₀)=0 положительная. Аналогично, если P(D₀)=1, делается заключение, что объект находится в состоянии D_o. В результате получаем выигрыш от правильного решения. Функция риска в этой точке равна R=П₀₀, причем П₀₀, < 0. При смещении из точки P(D₀) = l влево (P(D₀)<l) из-за возникающей неопределенности данных о состоянии диагностируемого объекта возрастает риск принятия решения, то есть R>П₀₀. Следовательно, производная функции риска в точке Р(D₀)=1 имеет отрицательное значение. Поскольку R – непрерывная функция аргумента P(D₀), то в некоторой точке P*(D₀) интервала (0;l) R должна иметь максимум. Это – наименее благоприятное значение априорной вероятности P(D₀), при котором риск принятия решения R(P*(D₀))=R* максимален. При известных потерях и выигрышах максимум риска и значение Р* (D_o) можно определить, построив график, аналогичный графику на рис. 2. Данные для этого можно получить, последовательно задавая P(D₀) из интервала 0...1 и вычисляя R с помощью соотношения (22). Так как реальная априорная вероятность P(D₀) неизвестна, для расчетов принимается значение P*(D₀). Очевидно, что при этом реальный риск принятия решения о состоянии диагностируемого объекта не превысит R*.

Рис.2. Изменение среднего риска R в зависимости от априорной вероятности состояния D₀

Чтобы определить условие разбиения диагностического пространства на области S₀ и S₁ необходимо найти экстремум функции среднего риска R (см. (22)) относительно величины P(D₀) с учетом того, что P(D_l) = 1-P(D₀). Определить условие разбиения диагностического пространства на области S₀ и S₁ и величину P*(D₀) из уравнения можно только в случае однопараметровой диагностики, то есть когда имеется лишь один диагностический параметр. В общем случае в (22) входят интегралы по S₀ и S₁, а их зависимости от P(D₀) заранее не известны. Поэтому поступают следующим образом.

Рассматривают отношение правдоподобия в левой части неравенства(23) как случайную функцию вектора . Поскольку плотности вероятности распределения для состояний D_o и D₁ различны, различаются и условные плотности вероятности и . Введение этих функций позволяет перейти от многомерных плотностей вероятности распределения диагностических параметров к одномерным. Действительно, из правила постановки диагноза (23) и (25) следует, что событие, состоящее в том, что выполняется неравенство при условии, что диагностируемый объект находится в состоянии D₀, и событие – , если объект находится в состоянииD₀, эквивалентны. Следовательно, равны вероятности этих событий:

.

Из аналогичных рассуждений находим

Следовательно, вероятности правильно и ошибочно поставленных диагнозов (19) и (20) можно представить в виде:

(27)

(28)

После подстановки этих соотношений в (21) получим зависимость функции среднего риска от параметров P(D₀), P(D₁) = 1 - P(D₀) и . Изусловия с учетом (23) получим уравнение для определения порогового значения отношения правдоподобия :

= (29)

Наименее благоприятное значение вероятности исправного состояния Р*(D₀) можно вычислить с помощью соотношения:

=. (30)

Правило постановки диагноза определяется формулой (25), уравнение граничной поверхности – (24), а ошибки диагностирования – соотношениями (27) с учетом равенства

P*(D₁)=1-P*(D₀).

Методы расчета условных плотностей вероятности отношения правдоподобия и для некоторых основных видов распределений изложены в [3].