Метод минимального риска

Если известны априорные вероятности P(D₀) и Р(D₁) и стоимости потерь от неправильно принятых решений о состоянии диагностируемого объекта и выигрыши при правильной постановке диагноза – П_ij (i , j = 0,1) (табл. 1), можно вычислить средний риск или математическое ожидание потерь при диагностике. Он складывается из потерь от ошибочных решений и выигрышей от правильных диагнозов:

(21)

или с учетом (19) и (20)

(22)

Разбиение диагностического пространства на области S₀ и S₁ проводится из условия, чтобы средний риск R был минимален. Для этого необходимо, чтобы S₀ – область диагноза D₀ – включала все значения х, для которых выполняется неравенство

Следовательно, область S₀ содержит значения х, для которых отношение правдоподобия (х) превышает пороговое значение :

(23)

Уравнение

(24)

определяет граничную поверхность между областями S₀ и S₁ диагностического пространства. Правило постановки диагноза можно записать в виде cложного неравенства:

(25)

то есть, если выполняется верхнее неравенство, принимается решение, что объект находится в состоянии D₀, если нижнее – в состоянии D₁ .Ошибки 1-го и 2-го рода при использовании этого правила вычисляются по формулам (20) с учетом разбиения диагностического пространства на области S₀ и S₁ .

Метод минимального числа ошибочных решений t (метод Зигерта-Котельникова, критерий идеального наблюдателя)

Этот метод применяется, если неизвестны стоимости потерь и выигрышей при постановке диагноза. Правило постановки диагноза находится из условия минимума доли ошибочных решений. Вероятность таких решений определяется соотношением

Можно показать [5], что она минимальна, если область S₀ диагноза D₀ содержит значения х, для которых

(26)

При указанном пороговом значении соотношение (24) определяет граничную поверхность в диагностическом пространстве, а (25) – правило постановки диагноза. Таким образом, метод минимального числа ошибочных решений является частным случаем метода минимального риска при условии

П₁₀-П₁₁=П₀₁-П₀₀

Кроме того, он совпадает с методом Байеса (см. (12)), так как из (26) следует Р(D₀/х)>Р(D₁/х), что является условием постановки диагноза D₀ по методу Байеса.

Недостаток метода минимального числа ошибочных решений – игнорирование различия последствий ошибок диагностирования. Поскольку потери от пропуска сигнала, как правило, превышают потери от ложной тревоги, применение критерия идеального наблюдателя может привести к экономически не обоснованным решениям. Поэтому этот метод рекомендуется применять, если известно, что потери от ошибочных решений примерно одинаковы.

Метод максимального правдоподобия

Этот метод применяется, если неизвестны стоимости потерь и выигрышей при постановке диагноза, а также априорные вероятности состояния диагностируемого объекта. Согласно этому методу в область S₀ диагноза D₀ включаются значения х, для которых Р(D₀/х)>Р(D₁/х), то есть те х , для которых априорная плотность вероятности диагноза D₀ превышает априорную плотность вероятности диагноза D₁. Метод максимального правдоподобия по сути является частным случаем метода минимального риска при ₀=1. При этом условии (24) определяет граничную поверхность, а (25) – правило постановки диагноза.