1009

XXII Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках», организованная Пермским национальным исследовательским политехническим университетом, посвящена актуальным проблемам математического моделирования в механике, физике, экологии, биомеханике, технике и технологии по следующим направлениям: процессы получения новых материалов и прогнозирование их свойств, многоуровневые математические модели для описания физико-механических процессов при больших деформациях твердых тел, деформирование и разрушение неоднородных материалов, расширенная механика сплошных сред, модели пластичности и сверхпластичности, процессы и системы авиаракетной техники и высоких технологий, модели биомеханических процессов.

Оргкомитет конференции

Председатель оргкомитета: профессор П.В. Трусов (ПНИПУ) Ученый секретарь: доцент А.И. Швейкин (ПНИПУ)

Члены оргкомитета: профессор А.Н. Аношкин, профессор Р.В. Бульбович, профессор В.Э. Вильдеман, профессор М.Б. Гитман, доцент В.Н. Ашихмин, доцент Ю.В. Баяндин,

доцент П.С. Волегов, доцент А.В. Зайцев, доцент И.Ю. Зубко, ст. преподаватель

В.И. Кочуров, доцент Е.С. Нечаева, ассистент Н.С. Кондратьев (ПНИПУ).

Научный программный комитет школы-конференции

Академик РАН В.П. Матвеенко, профессор О.Б. Наймарк, профессор О.И. Скульский,

профессор П.Г. Фрик, профессор И.Н. Шардаков (ИМСС УрО РАН), профессор В.И. Астафьев (СамГУ), профессор Р.А. Васин (ИМех МГУ), профессор А.Г. Князева (ИФПМ СО РАН), профессор С.А. Лурье (ВЦ РАН), профессор Е.А. Митюшов (УПИ– УГТУ), профессор Б.Е. Победря (МГУ), профессор И.Г. Русяк (Ижевский ГТУ), профессор В.В. Стружанов (ИМаш УрО РАН), профессор А.Б. Фрейдин (ИПМаш РАН, Санкт-Петербург), профессор Е.К. Хеннер (ПГНИУ).

Оргкомитет конференции считает своим долгом поблагодарить руководителей иколлективыследующихорганизаций, оказавшихфинансовуюподдержкуконференции:

Министерство образования и науки Российской Федерации, Российский фонд фундаментальных исследований, Министерство промышленности, инноваций и науки Пермского края,

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Институт механики сплошных сред УрО РАН.

Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. А.А. Роговой (ИМСС УрО РАН); кафедра механики композиционных материалов и конструкций ПНИПУ.

ISBN 978-5-398-01094-7 ПНИПУ, 2013

ВЛИЯНИЕ ВЯЗКОСТИ НА УСТОЙЧИВОСТЬ КОЛЕБАНИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ КАПЛИ

А.А. Алабужев

(Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, Пермский государственный национальный исследовательский университет, Пермь)

При высокочастотных вибрациях вязкость может играть существенную роль только в узких пограничных слоях около поверхностей раздела. Это позволяет рассматривать жидкость в ядре как невязкую и учитывать вязкость только в пограничных слоях. Диссипация энергии в вязком пограничном слое на твердой поверхности вносит существенно больший вклад, чем диссипация в погранслое на поверхности раздела двух жидкостей. Строгий учет влияния малой вязкости жидкостей проводился в работе [1] при рассмотрении нелинейной теории возбуждения параметрической неустойчивости возбуждаемых волн на поверхности жидкости. В работах [2] изучались малоамплитудные вибрации сферической капли, помещенной в другую жидкость. Задача рассматривалась в невязкой постановке и в приближении малой вязкости, феноменологически, искусственным добавлением в амплитудные уравнения членов, отвечающих за диссипацию энергии, что приводит к появлению конечного порога по амплитуде вибраций и сдвигу резонансной частоты. При этом оказалось, что случаи нулевой вязкости и вязкости, стремящейся к нулю, не эквивалентны [2]. При рассмотрении параметрической неустойчивости вибраций полусферической капли маловязкой жидкости [3] и строгом учете малой вязкости был обнаружен подобный эффект.

Рассмотрено поведение капли вязкой жидкости со свободной поверхностью, зажатой между двумя твердыми параллельными поверхностями с закрепленной контактной линией под

3

воздействием поперечных или продольных вибраций. В состоянии равновесия капля имеет форму цилиндра. Равновесный краевой угол между боковой поверхностью капли и твердыми поверхностями прямой. Движение капли вызвано колебаниями твердых поверхностей. Вязкость играет существенную роль только на поверхностях раздела в узких пограничных слоях. Поэтому влияние вязкости будем учитывать в пограничном слое на твердой поверхности. Краевой угол в процессе движения изменяется.

Рассмотрены собственные колебания. Получены частоты собственных колебаний. Полученные частоты совпадают с частотами цилиндрической капли при нулевом параметре смачивания [4]. В первом порядке разложения найдена поправка к частоте, вызванная наличием диссипации в вязком пограничном слое.

Исследована неустойчивость вынужденных колебаний капли по отношению к малым возмущениям. При поперечных вибрациях, как и в первой части, параметрическая неустойчивость возникала при выполнении условия синхронизма:

ω=Ωm,k +Ωm+1,l .

Здесь m – азимутальное волновое число, k , l – осевое волновое число. Аналогичное условие получалось для полусферической капли [2] и цилиндрической без вязкости [5]. В случае продольных вибраций параметрический резонанс возникал при условии равенства частоты вибраций сумме частот одной моды (для полусферической капли в работах [2,3]):

ω=Ωm,k +Ωm,l .

Для обоих случаев вибрационного воздействия найдены области неустойчивости. Показано, что учет вязкости, как и следовало ожидать, приводит к появлению конечного порога амплитуды вибраций и сдвигу резонансной частоты.

4

Найдено выражение, описывающие резонансные области. Показано, что малая вязкость приводит к появлению порога амплитуды вибраций и сдвигу области неустойчивости при сравнении с нулевой вязкостью. В результате этого малая вязкость приводит к дестабилизации вынужденных колебаний.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ

(грант № 12-01-31366-мол_а).

Список литературы

1.Любимов Д.В., Черепанов А.А. // Некоторые задачи устойчивости поверхности жидкости: препринт / Институт механики сплошных сред УНЦ АН СССР. – Свердловск, 1984. –

С. 54–76.

2.Любимов Д.В., Любимова Т.П., Черепанов А.А. Динамика поверхностей раздела в вибрационных полях. – М.: Физ-

матлит, 2003. – 216 с.

3.Картавых Н.Н., Шкляев С.В. // Вестник Пермского уни-

верситета. Сер.: Физика. – 2007. – № 1. – С. 23–29.

4.Алабужев А.А., Любимов Д.В. // ПМТФ. – 2007. –

Т. 48. – № 5. – С. 78–86.

5.Алабужев А.А., Любимов Д.В. // Известия РАН. МЖГ. – 2005. – №2. – С. 18–28.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВУХФАЗНОЙ ЗОНЫ С УЧЕТОМ КОНВЕКЦИИ И КИНЕТИКИ В РАСПЛАВЕ

Д.В. Александров, А.В. Бритоусова, И.Г. Низовцева

(Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.Ельцина, Екатеринбург)

Процессы направленного затвердевания расплавов и растворов протекают в различных условиях и сопровождаются разными физико-химическими явлениями, играющими принципи-

5

альную роль при построении соответствующих математических моделей. Примерами таких процессов являются кристаллизация слитков, замерзание воды, затвердевание магматических расплавов, образование гранитов и базальтов. Несмотря на различную физическую природу указанных процессов, все они изучаются с помощью теории направленного затвердевания, основы которой были заложены Стефаном более ста лет назад [1]. Модель Стефана описывает протекающий процесс лишь на качественном уровне, поскольку в ней считается, что кристаллизующаяся система состоит только из двух чистых фаз – твердой и жидкой, которые разделены плоской межфазной границей – фронтом кристаллизации [2, 3]. Существование такой резкой границы раздела фаз в процессе кристаллизации при наличии примесей встречается достаточно редко. Это объясняется тем, что в результате вытеснения примеси движущимся фронтом кристаллизации слой расплава перед ним оказывается переохлажденным.

Проведено теоретическое исследование процесса направленной кристаллизации бинарных систем во фронтальном режиме и в режиме затвердевания с областью фазового перехода с учетом конвективно-кинетических механизмов тепло- и массопереноса. Развиты нелинейные математические модели процесса и построены их аналитические решения, соответствующие различным значениям параметров системы.

Работа выполнена при поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 годы (грант 14.А18.21.0858, 14.A18.21.1126, 14.132.21.1382), гранта Президента Российской Федерации молодым ученым 2013–2015 годов и Российского фонда фундаментальных исследований (грант 11-01-00137, 13- 01-96013-Урал, 13-08-96013-Урал).

6

Список литературы

1.Stefan J. Über die Theorie der Eisbildung, insbesondere Über die Eisbildung im Polarmeere // Ann. Phys. Chem. – 1891. –

42.– Р. 269–286.

2.Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. – Рига: Звайгзне, 1967. – 457 с.

3.Авдонин Н.А. Математическое описание процессов кристаллизации. – Рига: Зинатне, 1980. – 180 с.

МАСШТАБНО-ИНВАРИАНТНЫЕ СВОЙСТВА ДВУХФАЗНОЙ ЗОНЫ ПРИ ЗАТВЕРДЕВАНИИ БИНАРНЫХ СИСТЕМ

Д.В. Александров, С.В. Вихарев, А.А. Иванов, И.Г. Низовцева, А.П. Малыгин, И.О. Стародумов

(Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина, Екатеринбург)

Большое число физических, механических и химических процессов, связанных с фазовыми или химическими превращениями, традиционно описывается на основе классической фронтальной модели Стефана. Примерами могут служить: испарение жидкостей, рост новой фазы в метастабильной среде, фронтальное горение или фронтальные химические реакции, фильтрационное вытеснение вязких жидкостей в пористых веществах, рост изолированных дендритов и другие. Во многих случаях локально-плоская форма фронта, разделяющего две фазы, нарушается с образованием переходной области, содержащей элементы обеих фаз. В этой двухфазной области граница раздела часто представляет собой сильно разветвленную структуру, обладающую свойствами масштабно-временного самоподобия [1, 2].

7

В работе исследованы самоподобные свойства двухфазной зоны концентрационного переохлаждения в стационарных и нестационарных условиях направленной кристаллизации бинарных расплавов.

Работа выполнена при поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 годы (грант 14.А18.21.0858, 14.A18.21.1126, 14.132.21.1382), гранта Президента Российской Федерации молодым ученым 2013–2015 годов и Российского фонда фундаментальных исследований (грант 11-01-00137, 13-01-96013-Урал, 13-08-96013-Урал).

Список литературы

1.Федер Е. Фракталы. – М.: Мир, 1991. – 254 с.

2.Falconer K.J. The geometry of fractal sets. – Cambridge: Cambridge University Press, 1985.

МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЖИМОВ ПРЕВРАЩЕНИЯ, РЕАЛИЗУЮЩИХСЯ ПРИ СОЕДИНЕНИИ РАЗНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИНТЕЗА В ТВЕРДОЙ ФАЗЕ

К.А. Алигожина1, А.Г. Князева1,2

(1Национальный исследовательский Томский государственный университет, Томск; 2Национальный исследовательский Томский политехнический университет, Томск)

В настоящее время существует множество различных способов соединения материалов, среди которых особое место занимает самораспространяющийся высокотемпературный синтез или СВС. В широком смысле СВС – это процесс перемещения волны химической реакции по смеси реагентов с образованием конечных твердых продуктов, проводимый с целью синтеза ве-

8

ществ материалов [1]. В настоящее время известны шесть технологических типов СВС-процессов. Среди них СВС-сварка или соединение материалов с использованием синтеза в твердой фазе, когда реакция осуществляется в зазоре между соединяемыми материалами. Для разработки и оптимизации СВС-технологий важно иметь представление о физических процессах, приводящих к образованию продуктов. Математическая модель соединения инертных материалов в симметричной постановке предложена в [2, 3].

Цель настоящей работы состоит в теоретическом исследовании процессов, сопровождающих образование соединительного шва в условиях соединения разнородных (обладающих различными теплофизическими свойствами) материалов.

Математическая модель, на основе которой проводится численное исследование режимов превращения в конденсированном веществе в щели между разнородными инертными материалами, представляет собой двумерную трехслойную сопряженную задачу теплопроводности с источником химического тепловыделения в промежуточной области. Химическая реакция описана простой суммарной схемой. На границах раздела материалов полагается справедливым условие идеального теплового контакта. Инициирование реакции осуществляется кратковременным тепловым импульсом с поверхности с формированием волны горения и ее дальнейшим распространением по исходному веществу.

Для численного решения задачи выбрана неявная разностная схема. Использованы схема расщепления по координатам и метод линейной прогонки. Источник тепла в уравнении теплопроводности, связанный с химическим превращением, брался

снижнего слоя.

Взависимости от соотношения теплофизических свойств материалов, между которыми находится реагент, и самого реагента наблюдаются различные температурные профили, ширина зоны реакции, скорости распространения зоны превращения.

9

Список литературы

1.Мержанов А.Г. Твердопламенное горение. – Черного-

ловка: ИСМАН, 2000. – 224 с.

2.Чащина А.А., Князева А.Г. Режимы распространения твердофазной реакции в щели между двумя инертными пластинами // Физическая мезомеханика. – 2004. – Т. 7. Спец. выпуск. –

Ч. 1. – С. 82–85.

3.Чащина А.А., Князева А.Г. Двумерная модель соединения материалов с использованием СВ-синтеза // Физико-хими- ческие процессы в неорганических материалах: сб. ст. IX Междунар. конф. – Кемерово: Изд-во КемГУ. – 2004. – С. 490–494.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВЫХ И КИНЕТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ, СОПРОВОЖДАЮЩИХ ПРОЦЕСС КИСЛОРОДНОЙ РЕЗКИ

М.А. Анисимова1, А.Г. Князева1,2

(1Национальный исследовательский Томский политехнический университет, Томск;

2Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск)

Процессы кислородной резки металлических и неметаллических материалов вызывают большой интерес и в связи с развитием высокотемпературных технологий в различных отраслях промышленности. Несмотря на большое число теоретических работ в близких областях, до сих пор не существует моделей, которые адекватно отражали бы наблюдаемые кинетические закономерности этих технологических процессов и их стадий. Для металлов важной особенностью является зависимость поглощательной способности (или коэффициента отражения) от температуры, что может привести к нелинейным кинетическим эффектам [1, 2], не описываемым в рамках чисто теплофизических моделей.

10